Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости в однородном пласте

Одномерным называется фильтрационный поток жидкости, в котором скорость фильтрации и напор являются функциями только одной координаты, отсчитываемой вдоль линии тока.

К одномерным относятся следующие потоки.

1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

Контур питания для одной скважины – это условный контур, окружающий скважину, за пределами которого можно пренебречь возмущающим влиянием добывающей скважины. Для одиночной скважины – таким контуром является окружность такого радиуса, при котором на ней Р = Р_пл = P_k и w = 0. Для прямолинейной батареи скважины контур питания (условия на котором Р = Р_k и w = 0 сохраняются) также становится прямолинейным.

Для прямолинейно-параллельного фильтрационного потока линии тока жидкости в плане пласта и в его продольном сечении являются прямыми линиями, а скорость v в любой точке вертикального сечения пласта одинакова. Такой фильтрационный поток возникает при эксплуатации однородного пласта прямоугольной формы, у которого на контуре питания поддерживается постоянным давление Р_к, а батарея скважин, у которых давление на забое Р_r, расположена параллельно контуру питания (рис.10.1).

Рис. 10.1 План модели (а) и разрез по линии OX (б)

Условныеия обозначения: - линии тока жидкости; - батарея (галерея) добывающих скважин; I-I – контур питания; II-II – линия размещения батареи скважин; В – ширина разрабатываемого месторождения (зоны); L_k – расстояние от контура питания до батареи скважин; h – мощность пласта; v- вектор скорости фильтрации

2. ) Плоскорадиальный параллельный фильтрационный поток.

Особенность плоскорадиального потока заключается в том, что линии тока совпадают с радиусами, сходящимися к центру окружности (скважине) и находятся в одной плоскости. В любом горизонтальном сечении пласта поведение линий тока одинаково. Плоскорадиальный поток создается в однородном круговом пласте постоянной мощности или пласте

неограниченной протяжности, если в центре него пробурена скважина, вскрывшая пласт на всю мощность и имеющая открытый ствол (рис. 10.2 и 10.3).

1) Радиально-сферический фильт

3. Радиально-сферический фильтрационный поток.

Линии тока этого потока сходятся к центру сферы. Такой поток будет в пласте неограниченной мощности, вскрытом скважиной, имеющей полусферический забой (рис. 10.4).

Рис. 10.4

Описанные три вида фильтрационных потоков являются простейшими моделями реальных течений, возникающих при разработке месторождений и играющих важную роль для практических расчетов.

Задача исследования заключается в определении гидродинамических характеристик: дебита (или расхода), давления, grad P и скорости фильтрации в каждой точке пласта, а также в установлении закона движения частиц вдоль их траекторий, и определения средневзвешенного по объему порового пространства пластового давления.

3.5.1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.

Пусть в горизонтальном пласте толщины h и ширины В в сечении I-I, совпадающем с контуром питания, поддерживается постоянное давление Р_к, а в сечении II-II, отстоящем на L_к, поддерживается давление Р_r в батарее добывающих скважин (рис. 10.1).

Дифференциальное уравнение Лапласа для такого течения: , т.к. фильтрация осуществляется вдоль оси х и производные по другим направлениям равны 0.

Интегрируя дважды, имеем:

.

Постоянные интегрирования определим из граничных условий (начальных условий нет, т.к. движение установившееся, т.е. не зависит от t).

.

Решением уравнения Лапласа будет функция Р(х) (распределение давления):

.

Находим из уравнения движения скорость фильтрации в пласте

.

Находим объемный расход жидкости в потоке как произведение скорости фильтрации w на площадь поперечного сечения пласта S = Bh, т.е.

.

Находим закон движения t = f (x), используя связь между скоростью фильтрации и скоростью движения частиц жидкости

.

Интегрируя по t от 0 до t и по х от 0 до х, получим

.

Вычисляем средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление

.

Поведение найденных характеристик плоскопараллельного фильтрационного процесса показано на рис. 10.5 и рис.10.6.

При фильтрации давление равномерно падает от P_k до P_r. Линии равного давления (изобары) на плоскости перпендикулярны кровле и почве пласта и равноотстоят друг от друга. Линии тока жидкости являются параллельными прямыми и перпендикулярны к изобарам. Поведение изобар и линий тока жидкости в пласте определяет гидродинамическое поле данного фильтрационного потока (рис. 10.6).

Лекция № 11

3.5.2 Плоскорадиальный фильтрационный поток.

Лекция № 11

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидродинамической совершенной скважине радиусом r_c, расположенной в центре однородного горизонтального кругового пласта, толщиной h. На внешней круговой границе пласта радиусом R_k, служащей контуром питания, поддерживается постоянное давление P_k, на забое скважины давление Р_с тоже постоянно. Дифференциальное уравнение Лапласа в случае плоскорадиального фильтрационного потока имеет вид

.

Удобно перейти и решить задачу в цилиндрической системе координат (r,j,z) (рис. 11.1).

Уравнение Лапласа в криволинейной системе ( цилиндрической) системе координат:

где: H _r, H _j, H _z – коэффициенты Ляме.

Линии тока жидкости для данной фильтрационной модели совпадают с радиусами окружности (рис. 11.2). Поэтому в уравнении Лапласа останется одно слагаемое, зависимое от координаты r, и после подстановки в него значений коэффициентов Ляме примет вид:

Получаем

.

Это и есть дифференциальное уравнение Лапласа в цилиндрических полярных координатах для установившегося плоскорадиального течения несжимаемой жидкости по закону Дарси.

Дважды проинтегрировав дифференциальное уравнение, получаем

.

Постоянные интегрирования С₁, С₂ находим как обычно из граничных условий Р = Р_c при r = r_c; Р = Р_к при r = R_k.

Подставляя граничные условия, получаем систему уравнений для нахождения С₁, С₂:

.

Подставляя найденные значения С₁ и С₂ в решение, получим зависимость давления от координаты r в плоскорадиальном потоке.

.

Находим градиент давления

и используем его для нахождения скорости фильтрации

и дебита

,

где: S = 2prh – поверхность фильтрации (боковая поверхность цилиндра радиуса r и высотой h) (рис. 11.3).

Формула - называется формулой Дюпюи.

Находим закон движения частиц из связи ; . Подставляя сюда значение w и интегрируя от 0 до t и от R0 до переменного r получим:

где: R₀ – начальное положение частицы в момент t = 0 и r – текущее положение в момент t.

Если в эту формулу подставить вместо R₀ ®R_к , а вместо r ® r_c, то получим время Т отбора всей жидкости, находящейся в пласте

.

Находим средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление

Прокомментируем некоторые результаты.

Дебит скважины пропорционален депрессии DР (разнице давлений в пласте и на забое работающей скважины) и одинаков через любую цилиндрическую поверхность, соосную со скважиной т.е. не зависит от r.

Отношение объемного дебита скважины к DР называется коэффициентом продуктивности

;

_.Через этот коэффициент дебит скважины выражается уравнением

Q=K_прDP , которое называется индикаторной диаграммой. На ней коэффициент продуктивности определяется как тангенс угла наклона прямой к оси DP (tg j = K_пр). На практике индикаторную диаграмму строят по данным испытания скважины, путем получения притоков нефти при различных депрессиях.

Градиент давления и скорости фильтрации ведут себя одинаково и резко возрастают при приближении к скважине (рис. 11.5).

Логарифмическая кривая давления, вращение которой вокруг скважины образует поверхность, называется воронкой депрессии. Основная часть депрессии образуется в призабойной зоне, параметры которой сильно влияют на дебит скважины (рис. 11.6).

Гидродинамическое поле плоскорадиального потока описывается семействами изобар и линий тока. Изобара представляет окружности, поскольку, Р ~ = const- уравнение окружности. Линии тока – прямые, совпадающие с радиусами. Все выведенные формулы с заменой (Р_к – Р_с) на (Р_с – Р_к) справедливы для нагнетательных скважин.

3.5.3 Радиально-сферический фильтрационный поток

Лекция № 12

где: Н_r, Н_q, Н_j - коэффициенты Ламэ в (r, q, j) : x = r sinq´cosj; y = r sinq ´sinj; z= r cosq (рис. 12.2).

Для рассматриваемой модели линии тока жидкости совпадают с радиусами полусферы, поэтому В уравнении Лапласа частные производные по координатам q и j равны 0 и уравнение Лапласа будет иметь вид:

и и .

Далее схема решения и нахождения характеристик потока жидкости полностью аналогична плоскорадиальному потоку. Дважды интегрируя, получим

Постоянные С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

Подставив граничные условия, находим С₁ и С₂ из системы уравнений:

После подстановки значений С₁ и С₂ в общее решение, получим распределение давления в потоке несжимаемой жидкости как функции от координаты r

.

Если сопоставить формулы распределения давления для плоскорадиального и радиально-сферического потоков, то нетрудно заметить, что они имеют одинаковую структуру и переходят друг в друга, если логарифм отношения расстояний заменить разностью обратных значений расстояний:

.

Такое подобие структур формул характерно для выражений всех гидродинамических характеристик. Поэтому все остальные характеристики радиально-сферического потока (объемный расход несжимаемой жидкости, распределение скорости фильтрации, средневзвешенное давление и др.) можно получить из характеристик плоскорадиальной фильтрации аналогичной заменой в соответствующих формулах.

Лекция № 13