Бесконечно-малые и бесконечно-большие величины.
Определение. Функция называется бесконечно-малой в точке , если .
Функция называется бесконечно-большой в точке , если .
Это понятие не применимо к функции «вообще», без указания точки. Не бывает просто «бесконечно-малой функции», бывает только «бесконечно-малая функция в точке». Это свойство поведения функции в конкретной точке. Так, является бесконечно-малой при .
Очевидно, что если беск-малая в точке, то является бесконечно-большой в той же точке.
Пример. Фкнкция является бесконечно малой в точках и 1 и бесконечно большой в точке 2.
Бесконечно малые называются сравнимыми, если существует хотя бы один из пределов или .
Если , причём и , то две функции называются бесконечно-малыми ОДНОГО ПОРЯДКА малости. Кстати, тогда , то есть оба предела равны конечным числам, а не . Если было бы то второй предел был бы .
Если при этом , то есть , то две бесконечно малые называются ЭКВИВАЛЕНТНЫМИЭто частный случай той ситуации, когда они одного порядка.
Пример. .
Если то называется бесконечно-малой более высокого порядка, чем .
Пример. . Функции и одного порядка в точке 0.
Пример. , а также ,
то есть более высокого порядка, чем . И хотя они обе стремятся к 0, но скорость этого процесса кардинально отличается. Если рассмотреть их графики при большом увеличении около начала координат, то парабола почти неотличима от оси 0х.
Третья степень - ещё более высокого порядка, она будет проходить ниже, чем парабола. Как мы видим, хоть и все они стремятся к 0, но эти нули как бы совершенно разной силы.
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 640;