Свойства эквивалентных бесконечно малых.
1. Если , то .
Доказательство очевидно, то
2. Если и то .
Дано: , . Докажем, что .
= = = 1.
3. Порядок разности двух эквивалентных величин больше, чем порядок малости каждой из них.
Доказательство. Дано: . Докажем, что при делении разности на любую из них предел будет 0, это как раз и означает, что в числителе - более высокого порядка.
= = 1-1 = 0.
4. Порядок малости суммы равен наименьшему из порядков слагаемых.
Доказательство. Пронумеруем так, чтобы 1-е слагаемое было наименьшего порядка. Тогда: = = 1+0+...+0 = 1.
То есть, эта сумма эквивалентна слагаемому наименьшего порядка.
Пример: 1-го а не 3-го порядка малости в точке x = 0.
- 2-го порядка.
А вот если рассматривать предел при , то тогда 8-го порядка. При малых значениях наибольшее влияние на сумму оказывает наименьшая степень, а при бесконечном возрастании - наибольшая степень.
4а. Порядок суммы бесконечно-больших равен наибольшему из порядков слагаемых.
5. Если , и то
то есть этот предел тоже существует, и равен К.
Доказательство. Дано: , , .
Вычислим = = .
Это свойство даёт возможность в дробях фактически заменять более сложные бесконено-малые на более простые, как правило, даже на степенные.
Пример. = = = .
Домножили и поделили, так что первая дробь стала состоять из двух эквивалентных величин, и её предел равен 1. А выглядит это так, как будто в числителе просто заменили на эквивалентную .
Лекция № 11. 18. 11. 2016
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 1630;