Введение, основные методы.
Возьмём две соседние точки на графике некоторой функции. Разность их абсцисс обозначим , а разность ординат . Если соединить точки, то получим прямоугольный треугольник, его катеты это именно и .
Если сближать точки, то можно заметить, что катеты и уменьшаются, но угол, в общем случае, не уменьшается к нулю, а стабилизируется. То есть, существует предел равный некоторому числу. На этом и основана вся тема, которую мы сейчас будет изучать.
Определение 1.
Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. .
В других обозначениях это же самое можно записать так:
Геометрический смысл.Так как соотношение это тангенс угла наклона секущей, но секущая в пределе стремится к касательной, то производная равна тангенсу угла наклона касательной в графику в точке.
Для векторной функции физический смысл - скорость. Если дано , то вектор это скорость. Этот вектор направлен по касательной к траектории.
Скорость - векторная величина, а скалярная «скорость» измеряемая в км/ч, показываемая в спидометрах на транспорте, это на самом деле - МОДУЛЬ скорости.
Примеры производных для некоторых известных функций.
в частности .
Докажем, например, что производная для 2-й степени вычисляется именно по этой формуле.
По определению, для этой функции надо записать так:
преобразуем: = = = .
Итак, .
Кстати, тот факт что не просто кем-то введено произвольно, а тоже можно доказать: если то = = = 1.
Аналогично, например, доказывается .
= = =
= = .
Докажем, что . = = Так как следующие бесконечно малые эквивалентны: то получим, заменяя на эквивалентную: = .
Определение 2.
Функция f называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: , где - бесконечно малая более высокого порядка, чем 1-й.
Действительно, бывают не дифференцируемые функции, например не дифф. в нуле. Дело в том, что там нет общей касательной для двух частей графика, правой и левой. Какую бы прямую мы ни провели через (0,0), она не будет касательной к графику функции. Если наклон +450 то есть то разность между ней и левой половиной графика не будет бесконечно-малой: эта прямая является касательной к одной части графика, то она перпендикулярна другой ветви этого же графика.
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 727;