Доказательство формулы .
Запишем производную по определению.
Но тут есть сдвиг на и по u, и по v. Добавим и вычтем такое слагаемое, в котором сдвиг по одной функции есть, а по второй нет:
теперь слагаемых стало 4, но зато их можно сгруппировать по два, и даже разбить на две дроби, так, что дельта прибавляется только на одном из мест.
Теперь можно вынести тот множитель, который одинаков в каждой разности:
Видно, то, что осталось в дробях, это и есть производные для u или v соответственно, т.е. в итоге:
. Итак, .
Докажем формулу .
Запишем по определению: .
В том выражении, которое есть в числителе, приведём к общему знаменателю.
= =
= .
Аналогично как в прошлом случае, добавим и вычтем слагаемое, чтобы получилось 4 слагаемых а не два, и чтобы в каждой паре был сдвиг только по одной из функций. Можно для этой цели прибавить и отнять, например, .
=
Если во втором пределе переставить два слагаемых и при этом, конечно, добавить знак минус, то часть, содержащая дельта-икс, получится раньше, что и приведёт к записи точь в точь, как в определении производной для v.
=
= .
С помощью правил дифференцирования решим несколько примеров.
Пример.Найти производную тангенса (мы фактически докажем одну из формул таблицы интегралов).
= = = = = .
Итак, = .
Пример. Найти . Примерим формулу дифференцирования композиции.
= = .
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 688;