Частные производные и градиент.

Мы рассмотрели случай . Как видим, там метод дифференцирования практически ничем не отличается от случая скалярных функций, просто есть n компонент. А теперь рассмотрим производные для функций нескольких переменных . Пусть например, дана функция , или . Приращение аргумента в этом случае задаётся не однозначным образом: ведь можно задать приращение каждому из аргументов, которых несколько. Так, например, для можно фиксировать y и рассмотреть функцию . Это уже будет функция одной переменной. График функции это поверхность, тогда при фиксировании получается сечение поверхности вертикальной плоскостью, то есть кривая.

Можно задать приращение только для , и тогда получим такое понятие, как частная производная.

Определение. Производной функции f по переменной x называется предел:

.

Кроме ещё применяют такое обозначение: .

Аналогично определяется частная производная по y, ведь можно взять вторую точку, отступив в направлении другой оси.

.

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся в одном из сечений.

Физический смысл. Если функция - это температура воздуха, то например, при движении самолёта строго на юг температура за бортом будет возрастать, а при движении на запад или восток почти неизменна. Как видим, частные производные в двух перпендикулярных направлениях могут сильно отличаться.