Метод вычисления частных производных.
Если бы вам нужно было вычислить производную функции, содержащей параметр C, например , то понятно, что = . Так вот, аналогично, если функция нескольких переменных, то при дифференцировании по одной из них, остальные в роли параметров, то есть вы можете мысленно «заморозить» их или даже переобозначить через A или C, а после вычисления производной, разморозить или переобозначить обратно.
Если то , .
Если объединить частные производные в один вектор, то получим .
этот вектор называется градиентом функции.
Кроме , применяется обозначение .
Если после вычисления частных производных фиксировать переменные, то есть взять конкретную точку, то получится градиент в точке. Это вектор, состоящий из чисел, а не функций.
Пример. Найти градиент функции в точке (1,1,1).
Решение. Найдём частные производные. , , . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем .
Пример.Пусть . Соответствующая поверхность - эллиптический параболоид. Градиент поверхности это вектор . Теперь, если фиксировать точку (1,0) то получим, что градиент равен (2,0) а если точку (1,1) то (2,2) и т.д. Градиент для этой функции всегда направлен радиально от начала координат.
И действительно, если точка находится под этой поверхностью, то она должна двигаться в направлении от центра, чтобы рост высоты поверхности над ней происходил быстрее всего. А для неявно заданной окружности, этот вектор как раз и является перпендикуляром. Заметим, что градиент ортогонален окружности, то есть горизонтальному сечению.
Дата добавления: 2016-12-26; просмотров: 624;