Уравнение касательной, формула Тейлора.

Уравнение касательной.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник. Его катеты и , так как тангенс угла наклона касательной это .

Направляющий вектор для прямой направлен в точности по гипотенузе.

При этом, мы можем пропорционально увеличить этот треугольник, тогда катеты будут такие: 1 и .

Соответственно, направляющим вектором можем считать такой вектор: .

Возьмём теперь точку где-нибудь на касательной. Она принадлежит касательной в точности тогда, когда вектор коллинеарен направляющему вектору этой прямой, т.е. .

Запишем пропорцию координат так, как это всегда делали в теме «аналоитическая геометрия». Получается каноническое уравнения прямой: . А теперь просто умножим на . Получается .

Замечание. Уравнение касательной можно запомнить в виде причём, так запомнить легче.

Пример.Найти касательную к графику в точке

, , . Уравнение , то есть .

Если кривая задана неявно, то уравнение касательной в точке может быть тоже записано в виде:

Доказательство.Рассмотрим кривую и точку на ней. Градиент в этой точке ортогонален поверхности.

Тогда строим уравнение прямой так, как это делали в аналитической геометрии: вектор ортогонален , то есть их скалярное произведение 0. Тогда получается именно такое уравнение:

.