2 страница. Задача/. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой точке с абсциссой х0.

Задача/. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой
точке с абсциссой х0.

решение

Если функция f(x) в точке х0 имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

 

 


 

, то уравнение касательной имеет вид то уравнение нормали имеет вид

 


• Если

 


то уравнение нормали имеет вид

 


1. Находим значение

 


2. Находим производную

 

в точке M1 с абсциссой
Задача 3: Найти уравнение касательной к параболе
решение Будем искать уравнение касательной в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом, т.е. у = kx + b. Известно, что к есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ, т.е. k = у'(М1). Так как М1 принадлежит и касательной и параболе, то ее координаты удовлетворяют их уравнениям.

Задача 2. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой


 


 

решение


Уравнение нормали:

 

Имеем:

 

• Получаем уравнение нормали:

 

• Составляем уравнение касательной к данной кривой в точке с
абсциссой х0).


 

 


Уравнение касательной:

 

Имеем:

 

• Получаем уравнение касательной:


В точке М1

 

Подставив x1 = 2 в уравнение параболы, найдем ординату у1 точки М1:
Значит М(2,9).
Найдем

Значит k = 8. Подставив значение k = 8;

x1= 2; y1 = 9 в уравнение прямой, найдем b: 9 = 8 • 2 + b; b = - 7.
Значит касательная к параболе у = Зх2 - 4х + 5 в точке М1 (2,9) будет
представлена уравнением у = 8х — 7.


 

 


может быть представлено в
то соответствующее приращению аргумента
виде
где A не зависит от
но

Определение 3. Если приращение функции


то функция
зависит от
называется дифференцируемой в точке х.
Здесь
бесконечно малая более высокого порядка малости, чем
т.е.

 

 


Можно доказать, что
Таким образом, существование
в точке х эквивалентно её

производной у функции


 

 


дифференцируемости в этой точке по определению 3.

Определение 4. Главная линейная часть приращения дифференцируемой


функции

называется ее дифференциалом.

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
АРГУМЕНТА


ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Рассмотрев функцию
, убедимся, что
является функцией двух аргументов -
(дифференциал

 

 


независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифференциалы
старших порядков определяются индуктивно.


и по определению предела

 

По определению производной
получим:


 

или

где — бесконечно малая величина (БМВ) при х = 0. Умножая обе части
(1) на Δх, получим:


 

где Δх при х = 0 тоже БМВ.
Лейбниц предложил обозначить


 

и назвать это дифференциалом функции. Тогда, если у = х, то

 


 

Откуда дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента —
Δх. Можно (4) представить в виде:


• Пример. Найти дифференциал функции

 

 



 

Решение: По формуле (6) получим:

Отсюда формулами для нахождения дифференциала будут формулы
для нахождения производной, где вместо знака производной перед
функцией будет стоять символ d.

Например:



 

 



 

считается функцией только х (но не
), т.е.
этом Соотношение
выполняется, например, для n-1=1.
Методом индукции из этого следует справедливость аналогичного выражения для n-го дифференциала при любом n ≥ 2 .

Определение. Дифференциалом п-го порядка функции

называется дифференциал от (n-1)-го дифференциала этой функции. При

• Пример. Вычислить 1-й и 2-й дифференциалы функции

 


 

Решение:


 

 


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ


 

 


Подставляя (9) в (2), получим:
(бесконечно малая величина), предел которой
Так как
равен нулю при х = 0, то
На рис. рассмотрим геометрический смысл выражения (10).

С учетом (9) и (11) можно сказать, что
дифференциал функции в конкретной
точке отличается от приращения
функции в этой точке на бесконечно
малую величину, соответствующую
отрезку между точками пересечения


Понимание геометрического смысла производной

вертикальной проекции приращенного аргумента с графиком функции
и с продолжением касательной, проведенной к графику в
рассматриваемой точке.


 

 


позволяет определять приближенное значение функции

• Пример 1. Определить приближенное значение


 

Решение: Рассмотрим функцию


Решение: По условию примера мы имеем:
Скорость

• Пример 2. Найти абсолютную погрешность средней скорости
спринтера в створе двух фотолучевых установок (ФЛУ),
отстоящих друг от друга на расстоянии 5 м, если спринтер
пробегает это расстояние за 0,422 с и ошибка в расстоянии за
счет вертикальных колебаний тела составляет 20 см, а время
определено с ошибкой 0,002 с.


 

 



Дифференциал скорости согласно (41) будет:

скорость имеют значение

 

в случае, когда оно отличается от
полного приращения
на величину, бесконечно малую по сравнению с
или

-полный дифференциал функции
где

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Полный дифференциал df, функции f(x, у, z,...) нескольких
независимых переменных - выражение


- первые частные производные,

 


-частные дифференциалы.

 

Дифференциал функции двух переменных.


Пусть

 


в точке

 

Определение: Дифференциал df(x0 , y0) функции


 

называется следующее выражение:

 


где dx и dy — дифференциалы

 


или сокращённо: переменных x и y.

Пусть

Тогда по определению:

 


 

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

 

Последнее равенство следует из формул замены переменных. Таким образом, df можно представить в виде:

 

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Дифференцирование сложной функции.

Сложная функция h(x) = g(f(x))
(сложная функция с одной переменной)

Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило) позволяет
вычислить производную композиции двух и более функций на основе
индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке
х0, а функция g имеет производную в точке у0 = f(x0), то сложная функция
h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке х0.


Производная


 

 


то учитывая иную запись
Если сложная функция
где
производной,
представлена в следующем виде:

производная сложной функции может быть


 

 


Теорема: Пусть

Пример (сложная функция с одной переменной)


Пусть

 


где

Дифференцируя эти функции отдельно:

 


 

получаем


 

и функции

 



 

Частные производные высших порядков


Первые частные производные

есть функции от переменных х и у.

 

Назовём по определению вторыми частными производными функции следующие выражения:

 

Пример: Найти дифференциал функции у = f (х) = 2 sin3x (сложная
функция с одной переменной x)

Решение.

 

 


(сложная

 

Пример: Найти дифференциал функции
функция с двумя переменными: x,z)

Решение.

 


 

Пример: Найти частные производные функции


 

(функция с двумя переменными: x,z)

Решение.


 

Пример: Найти частные дифференциалы функции


 

Решение.

Пример: Найти полный дифференциал функции


 

 


Решение.

 

 


 

Пример: Найти полный дифференциал функции


 

Решение

Решение

 

Пример: u = f(x,y)

Найти частные производные первого и второго порядка и полный

дифференциал функции u. du -?

Решение


ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Заметим, что

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1.


 

 


Функция f(x) называется возрастающей в интервале (а,b), если при
возрастании аргумента х в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x2) >f(x1) при x2 > x1.

Из этого определения следует, что у
возрастающей в интервале (а,b)
функции f(x) в любой точке этого
интервала приращения Δх и Δу
имеют одинаковые знаки.









Дата добавления: 2016-06-24; просмотров: 2465; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.042 сек.