2 страница. Задача/. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой точке с абсциссой х0.

Задача/. Составить уравнение касательной и/или нормали к кривой
точке с абсциссой х₀.

решение

Если функция f(x) в точке х₀ имеет конечную производную, то уравнение касательной имеет вид

, то уравнение касательной имеет вид то уравнение нормали имеет вид

• Если

то уравнение нормали имеет вид

1. Находим значение

2. Находим производную

в точке M₁ с абсциссой

Задача 3: Найти уравнение касательной к параболе

решение Будем искать уравнение касательной в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом, т.е. у = kx + b. Известно, что к есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ОХ, т.е. k = у'(М₁). Так как М₁ принадлежит и касательной и параболе, то ее координаты удовлетворяют их уравнениям.

Задача 2. Составить уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой

решение

Уравнение нормали:

Имеем:

• Получаем уравнение нормали:

• Составляем уравнение касательной к данной кривой в точке с
абсциссой х₀).

Уравнение касательной:

Имеем:

• Получаем уравнение касательной:

В точке М₁

Подставив x₁ = 2 в уравнение параболы, найдем ординату у₁ точки М₁:

Значит М(2,9).

Найдем

Значит k = 8. Подставив значение k = 8;

x₁= 2; y₁ = 9 в уравнение прямой, найдем b: 9 = 8 • 2 + b; b = - 7.
Значит касательная к параболе у = Зх² - 4х + 5 в точке М₁ (2,9) будет
представлена уравнением у = 8х — 7.

может быть представлено в

то соответствующее приращению аргумента

виде

где A не зависит от

но

Определение 3. Если приращение функции

то функция

зависит от

называется дифференцируемой в точке х.

Здесь

бесконечно малая более высокого порядка малости, чем

т.е.

Можно доказать, что

Таким образом, существование

в точке х эквивалентно её

производной у функции

дифференцируемости в этой точке по определению 3.

Определение 4. Главная линейная часть приращения дифференцируемой

функции

называется ее дифференциалом.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
АРГУМЕНТА

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Рассмотрев функцию

, убедимся, что

является функцией двух аргументов -

(дифференциал

независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифференциалы
старших порядков определяются индуктивно.

и по определению предела

По определению производной
получим:

или

где — бесконечно малая величина (БМВ) при х = 0. Умножая обе части
(1) на Δх, получим:

где Δх при х = 0 тоже БМВ.
Лейбниц предложил обозначить

и назвать это дифференциалом функции. Тогда, если у = х, то

Откуда дифференциал аргумента dx равен приращению аргумента —
Δх. Можно (4) представить в виде:

• Пример. Найти дифференциал функции

Решение: По формуле (6) получим:

Отсюда формулами для нахождения дифференциала будут формулы
для нахождения производной, где вместо знака производной перед
функцией будет стоять символ d.

Например:

считается функцией только х (но не

), т.е.

этом

Соотношение

выполняется, например, для n-1=1.

Методом индукции из этого следует справедливость аналогичного выражения для n-го дифференциала при любом n ≥ 2 .

Определение. Дифференциалом п-го порядка функции

называется дифференциал от (n-1)-го дифференциала этой функции. При

• Пример. Вычислить 1-й и 2-й дифференциалы функции

Решение:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ

Подставляя (9) в (2), получим:

(бесконечно малая величина), предел которой

Так как

равен нулю при х = 0, то

На рис. рассмотрим геометрический смысл выражения (10).

С учетом (9) и (11) можно сказать, что
дифференциал функции в конкретной
точке отличается от приращения
функции в этой точке на бесконечно
малую величину, соответствующую
отрезку между точками пересечения

Понимание геометрического смысла производной

вертикальной проекции приращенного аргумента с графиком функции
и с продолжением касательной, проведенной к графику в
рассматриваемой точке.

позволяет определять приближенное значение функции

• Пример 1. Определить приближенное значение

Решение: Рассмотрим функцию

Решение: По условию примера мы имеем:

Скорость

• Пример 2. Найти абсолютную погрешность средней скорости
спринтера в створе двух фотолучевых установок (ФЛУ),
отстоящих друг от друга на расстоянии 5 м, если спринтер
пробегает это расстояние за 0,422 с и ошибка в расстоянии за
счет вертикальных колебаний тела составляет 20 см, а время
определено с ошибкой 0,002 с.

Дифференциал скорости согласно (41) будет:

скорость имеют значение

в случае, когда оно отличается от

полного приращения

на величину, бесконечно малую по сравнению с

или

-полный дифференциал функции

где

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Полный дифференциал df, функции f(x, у, z,...) нескольких
независимых переменных - выражение

- первые частные производные,

-частные дифференциалы.

Дифференциал функции двух переменных.

Пусть

в точке

Определение: Дифференциал df(x₀, y₀) функции

называется следующее выражение:

где dx и dy — дифференциалы

или сокращённо: переменных x и y.

Пусть

Тогда по определению:

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

Последнее равенство следует из формул замены переменных. Таким образом, df можно представить в виде:

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Дифференцирование сложной функции.

Сложная функция h(x) = g(f(x))
(сложная функция с одной переменной)

Правило дифференцирования сложной функции (Цепное правило) позволяет
вычислить производную композиции двух и более функций на основе
индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке
х₀, а функция g имеет производную в точке у₀ = f(x₀), то сложная функция
h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке х₀.

Производная

то учитывая иную запись

Если сложная функция

где

производной,

представлена в следующем виде:

производная сложной функции может быть

Теорема: Пусть

Пример (сложная функция с одной переменной)

Пусть

где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

и функции

Частные производные высших порядков

Первые частные производные

есть функции от переменных х и у.

Назовём по определению вторыми частными производными функции следующие выражения:

Пример: Найти дифференциал функции у = f (х) = 2 sin3x (сложная
функция с одной переменной x)

Решение.

(сложная

Пример: Найти дифференциал функции
функция с двумя переменными: x,z)

Решение.

Пример: Найти частные производные функции

(функция с двумя переменными: x,z)

Решение.

Пример: Найти частные дифференциалы функции

Решение.

Пример: Найти полный дифференциал функции

Решение.

Пример: Найти полный дифференциал функции

Решение

Пример: u = f(x,y)

Найти частные производные первого и второго порядка и полный

дифференциал функции u. du -?

Решение

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ

Заметим, что

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1.

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (а,b), если при
возрастании аргумента х в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если
f(x₂) >f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у
возрастающей в интервале (а,b)
функции f(x) в любой точке этого
интервала приращения Δх и Δу
имеют одинаковые знаки.

Дата добавления: 2016-06-24; просмотров: 3570;