Теорема 2. (Ферма) (необходимый признак экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и - точка экстремума, то .

Доказательство опирается на теорему 1. Если допустить, что точка экстремума, но производная не 0, то тогда производная в точке равна какому-то числу, положительному или отрицательному. А тогда по прошлой теореме, справа и слева от этой точки график то выше, то ниже, то есть не может быть экстремальным значением во всей окрестности.

Замечание.Если функция дифференцируема, а следовательно и непрерывна, то должна при возрастании из отрицательных значений в положительные пройти через 0. Если же разрывна, то можете перескочить через 0, так чтобы 0 не был знаением ни в одной точке. Поэтому эта теорема и не применима для функции . Для неё производная равна до начала координат, а потом сразу 1, проходит через разрыв 1 рода, то есть скачок, и производная в точке минимума не равна 0, а сразу перескочила в положительное значение.

Теорема 3. (достаточный признак экстремума на основе 1-й производной)

1). Если при и при то - точка максимума,

2). Если при и при то - точка минимума.

Доказательство.

Если до точки производная больше нуля, то это значит, что функция возрастает в левой полуокрестности. При возрастании, чем правее точка, тем больше в ней значение. Но ведь это правая граница множества . Таким образом, наибольшее значение во множестве .

При убывании, чем правее точка, тем меньше в ней значение. Но ведь это левая граница множества . Таким образом, наибольшее значение также и во множестве . Получается, что - наибольшее значение во всём множестве , а это и есть максимум.

Доказали подробно 1-й пункт, 2-й аналогичными рассуждениями с заменой неравенств на противоположные.

Итак, на стыке интервалов монотонного роста и убывания - точки экстремума. Таким способом и можно находить экстремумы. Кстати, для теоремы 3 всё равно, гладкая функция или точка излома (производная разрывна) в точке экстремума. Она применима и для функции .

Теперь становится ясно, почему у кубической параболы нет экстремума в точке (0,0): интервал роста сменяется снова на интервал роста, поэтому, хоть даже и производная равна 0, но экстремума там нет.

Пример. Найти экстремумы .

Решение. Найдём = . Корни 1 и 3. Выясним знак производной на каждом из интервалов , и . Для этого надо вычислить знак в какой-нибудь точке на каждом из этих интервалов. Желательно для удобства вычислений взять целое число как представителя интервала.

Например, , и .

. . .

Таким образом, в точке рост сменяется убыванием, точка максимума. В точке убыванием сменяется ростом, точка минимума. Можно вычислить и ординаты, чтобы более подробно нарисовать график. Точки экстремума (1, 4/3) и (3, 0) . Вот график:

Теорема 4. (достаточный признак экстремума на основе 2-й производной)

Если функция дважды дифференцируема, и , то:

при - то в точке минимум,

при в точке максимум.

Доказательство.

Если вторая производная больше нуля, значит, первая производная возрастает при прохождении через точку . То есть, до точки она была отрицательна, а после положительна. Т.е. переходит из - в + , то есть точка на стыке интервалов убывания и роста. По теореме 3 это и означает, что там минимум. Изобразим семейство касательных в точках вокруг минимума:

касательная была направлена вниз, а после прохождения через эту точку - повернётся вверх.

Аналогично, если , то убывающая, что означает, что она проходит через 0 именно в процессе убывания, т.е. положительная в левой полуокрестности и отрицательна в правой. По теореме 3 это и означает, что в точке максимум. Теорема доказана.

Замечание. Этот факт легко запомнить: для параболы вторая производная равна +2, а там минимум, так как ветви этой параболы направлены вверх. Для будет , для неё - максимум.

Решим тот же самый пример теперь с помощью 2 производной. , = . Точки с нулевой производной 1 и 3. А теперь не будем искать знак производной на каждом интервале, а просто вычислим .

в точке максимум.

в точке минимум.

Но что делать, если окажется ? Как видим, такие ситуации тоже бывают, например, рассмотрим функции и . Для , , и там нет экстремума. Для 4-й степени, , тоже , но для есть минимум в нуле. В чём же разница и как узнавать, есть ли экстремум? На этот вопрос отвечает следующая теорема.