Основные теоремы дифф. исчисления

Теорема Ролля.Если функция f непрерывна и дифференцируема на [a,b], и , то существует точка , такая что .

Доказательство. Если в точке такое же значение, как было в точке , то:

1) либо функция тождественно равна константе (но тогда вообще в любой точке нулевая производная)

2) либо не константа, но тогда она должна достигать какого-то максимального отклонения от ординаты и снова возвращаться на эту же высоту, в этом случае есть точка экстремума, одна или несколько. Из теоремы Ферма об эстремуме следует, что в такой точке производная равна 0.

Теорема Лагранжа.Если функция f непрерывна и дифференцируема на [a,b], то существует точка , такая что .

Пояснение. Теорема Лагранжа фактически утверждает, что на графике есть такая точка, что касательная в ней наклонена под таким же углом, как хорда, соединяющая 2 конца графика в точках и . Чертёж:

Доказательство. Рассмотрим функцию .

Вычислим, чему она равна в точках .

=

= = .

Итак, на концах интервала значение одно и то же. Тогда по теореме Ролля существует точка , где . Рассмотрим подробнее производную . Дробь здесь фактически просто коэффициент k, он не содержим переменную, дифференцируется только .

В точке с: , тогда .

Теорема Коши.Если функции f,g непрерывны и дифференцируемы на [a,b], то существует точка , такая что .

Доказательство. Рассмотрим .

Проверим её значения на концах интервала, они одинаковы:

.

= = .

Тогда по теореме Ролля существует точка , где .

, тогда ,

, в итоге .

Теорема Лопиталя.Функции f,g непрерывны и дифференцируемы на [a,b], и , . Тогда .

Доказательство. Если применить теорему Коши к отрезку [a,x].

В некоторой точке верно: = .

Но при , точка с, лежащая между a,x тоже стремится к а.

Тогда .