Экстремумы и строение графика.

Монотонность и знак производной.

Вспомним определение монотонного роста и убывания: если при выполняется , то функция монотонно возрастает, а если то монотонно убывает. Рассмотрим, как монотонность взаимосвязана со знаком 1-й производной.

Лемма. 1) тогда и только тогда, когда монотонно возрастает.

2) тогда и только тогда, когда монотонно убывает.

Доказательство. Рассмотрим функцию (это та самая функция, которая была в определении предела).

Предел при это и есть .

Возьмём . Если f мнонтонно возрастает, то при этом , то есть дробь положительна. Если функция положительна, то и её предел больше нуля, тогда .

Аналогично, если функция отрицательна, то и её предел меньше нуля, тогда .

Определение 1(точки наибольшего, наименьшего значения в D).

Пусть функция f - функция одной переменной, т.е. отображает некоторое множество в . Точка называется точкой наибольшего (соответственно, наименьшего) значения в D, если . (соответственно, ).

Примечание. Здесь это область определения, может совпадать со всей числовой прямой, но не обязательно.

Определение 2. (максимум и минимум)

Пусть функция . Точка называется точкой максимума (минимума), если существует окрестность точки , такая, что . (для минимума ).

Для максимума и минимума есть общее название - «экстремум».

Локальных максимумов в смысле определения 2 может быть несколько или даже бесконечное количество. Например, график , здесь через каждые есть новый максимум, который выше того, что слева от него:

Понятие «максимум» отличается от понятия «наибольшее значение» тем, что для максимума требуется, чтобы функция была наибольшей в некоторой окрестности, а для наибольшего значения - во всей области.

Взаимосвязь между равенством нулю первой производной и экстремумом не однозначна. Так, функция имеет минимум в точке 0, но там не существует производная, то есть нельзя сказать, что . А для функции , , но при этом нет экстремума.

Рассмотрим подробно структуру функции в случае, когда производная не равна 0.

Теорема 1.

1). Если то:

при и при .

2). Если то:

при и при .

Доказательство. Рассмотрим дробь . Предел этой дроби при равен .

Если , то есть предел функции больше нуля, то в некоторой окрестности эта функция положительна. Для точки из правой полуокрестности, , верно , то есть .

Но так как дробь больше нуля, , тогда и числитель должен быть больше нуля. , тогда .

Если точка - в левой полуокрестности , тогда , то есть , и в положительной дроби будет отрицательный знаменатель, тогда и числитель должен быть меньше нуля. , тогда для точек .

Итак, справа от точки график функции выше, чем ордината , а слева - ниже. То есть, экстремума там точно нет.

Если то доказывается аналогично: в некоторой окрестности, то при то есть положительном знаменателе, должен быть отрицательный числитель, и тогда . А при знаменатель отрицательный, тогда числитель положительный, и .

Итак, теорема доказана.

Из Т.1 следует, что если производная в точке не равна 0, а является положительным или отрицательным числом, то экстремума точно нет.

По законам логики, если из А следует В, то из отрицания В следует отрицание А. Тогда можно вывести такой односторонний факт: если экстремум есть, то производная равна 0. Правда, только с оговоркой, что производная в той точке существует. Ведь как мы видели, для модуля производная может не существовать в точке 0.