Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений

Определение. Два уравнения f1(х) = g1(х) и f2(х) = g2(х) называют­ся равносильными, если множества их корней совпадают.

Например, уравнения х2 - 9 = 0 и (2 х + 6)( х - 3) = 0 равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и урав­нения (3х + 1)-2 = х2- + 1 и х2 + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.

Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением на­зывается равносильным преобразованием.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать рав­носильные уравнения.

Теорема 1.Пусть уравнение f(х) и g(х)задано на множестве и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(х) = g(х) (1)и f(х) + h(x) = g(х) + h(x) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т1 - множество решений уравнения (1), а через Т2 - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т1 = Т2. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т2 является корнем урав­нения (1).

Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a Т1, и при подста­новке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(a), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинно­го равенства f(a) = g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенст­во f(a) + h(a) = g(a) + h(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т1 с T2.

Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а T2 и при подста­новке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a). Прибавим к обеим частям этого равенства чис­ловое выражение -h(a), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. T2 с Т1.

Так как Т1 с Т2 и Т2 с Т1, то по определению равных множеств Т1 = Т2, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выраже­ние с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1.Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то лее число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не об­ращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = g(х) и f(х) · h(x) = g(х) · h(x) равносильны.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, кото­рое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения ум­ножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

 








Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 2986;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.