Лекция 28. Уравнения с двумя переменными

План:

1. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности.

2. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения системы двух уравнений с двумя переменными: способ подстановки и способ сложения.

3. Совокупности уравнений с двумя переменными.

УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ f₂ (х) = g₂ (х)

Предикат вида f (х, у) = g (х, у) называют уравнением с двумя переменными.

Любая пара (а, b) значений переменных, обращающая уравне­ние f (х, у) = g (х, у) в истинное числовое равенство, называется решением этого уравнения, а множество всех таких пар — мно­жеством решений этого уравнения.

Пример. Определим, являются ли пары (1; 5) и (—2; 7) решениями уравнения х + 2у = 12, и запишем множество решений данного уравнения.

Решени е. Если х = 1, а у = 5, то уравнение х + 2у = 12 обращается в неверное числовое равенство

1 +2 × 5 = 12. Следо­вательно, пара (1; 5) не является решением уравнения.

Если х = —2, а у = 7, то данное уравнение обращается в вер­ное равенство —2 + 2 • 7 = 12. Следовательно, пара (—2; 7) является решением уравнения х + 2у = 12.

Данное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для записи этого множества удобно выразить одну переменную через другую, например х через у. Получим: х = 12 — 2у. Тогда множе­ство Т решений этого уравнения можно записать так:

Т= {(12-2у, у) | у ÎR}.

Упражнения

1. Путем подбора найдите несколько решений каждого из следующих уравнений: а) х — у = 5;

б) у = Зх; в) Зх — 2у == 16.

2. Найдите три решения уравнения х + 2у = 7. Сколько решений имеет данное уравнение? Можно ли сказать, что любая пара чисел является решением данного уравнения?

3. Найдите пары чисел, разность которых равна 10. Сколько решений имеет задача?

4. Даны два уравнения: х + у = 9 и х — у = 1. Найдите пару чисел, которая: а) является решением первого уравнения, но не является решением второго; б) является решением второго урав­нения, но не является решением первого; в) является решением и первого и второго уравнений; г) не является решением ни первого уравнения, ни второго.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Система двух уравнений с двумя переменными имеет вид:

Решением этой системы является любая пара чисел (а; b), обра­щающая каждое из уравнений системы в верное числовое равенст­во. Множество таких пар есть пересечение множества решений пер­вого уравнения с множеством решений второго.

Две системы уравнений называются равносильными на некотором множестве X, если их множества решений совпадают.

Пример 1. Решим систему уравнений

Зх + 4у = 5,

х - 2у = 4, используя метод алгебраического сложения.

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2 и первое уравнение сложим со вторым, получим систему

Зх + 4у = 5

(Зх + 4у) + (2х - 4у) = 5 + 8

равносильную исходной.

После приведения подобных членов данная система примет вид:
Зх + 4у = 5

5х = 13,

Решением данной системы явля­ется пара чисел х = 13/5, у = - 7/10.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Общее уравнение прямой- уравнение первой степени относительно пе­ременных х и у, т.е. уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при условии, что коэффици­енты А и В одновременно не равны нулю.

Уравнение прямой в отрезкахимеет вид х/а + у/b = 1, где а и b- соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентомимеет вид у = кх + b, где к = tg ά - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b~ ордината точки пересечения прямой с осью Оу/

Уравнение прямой, проходящей через две точкиА(х_], у_]) и В(х₂ ,у₂), имеет вид

(х – х₁₎ )(х₂ -х₁) ₌ ( у - у₁ ) _/ ( у₂ - у₁)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле

k = ( у₂ - у₁) _/ (х₂ -х₁)

Пример 16.22. Найдите отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходя­щей через точки А(6; 2) и В(-3;8). )

Решение. Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты то­чек

А (6; 2) и В(-3;8), получим (х – 6) / (-3 – 6) = (у – 2) / (8 – 2) или у = - 2/3х + 6.

Преобразуем последнее уравнение

к уравнении ю прямой в отрезках: (2/3)х/6 + у/6 = 1 или х/9 + у/6 = 1. Значит, а = 9 и b =6.

Ответ: 6 и 9.

Если даны две пересекающиеся прямые А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ + В₂ у + С₂ - 0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.

Пример 16.23. Найдите точку пересечения прямых Зх - 4у + 11 = 0 и 4х - у - 7 = 0. Решение. Решив систему уравнений получим х = 3 и у = 5. Следовательно, (3, 5) - точка пересечения этих прямых.

Острый угол между двумя прямыми, заданными:

- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ - 0

вычисляется по формуле соs φ = | (А ₁ А₂ + В₁ В₂) /( √ А₁² + В₁ ² √ А₂ ² + В₂ ) ²|

- общими уравнениями у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂

вычисляется по формуле tg φ = | (k ₁ - k ₂) | (1 + k ₁ × k ₂)|

Пример 16.24. Найдите угол между прямыми у = 3х - 1 и у = -2х + 4.

Ответ: 45°.

Условие параллельности двух прямых, заданных:

-общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А ₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_{х /} А ₂ = В₁/ В₂;

- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет видk ₁ = k ₂.

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных:

- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_х А ₂ + В₁ В₂ = 0;

- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ k₂ = - 1

Пример 16.25. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А (4; -2) и па­раллельной прямой 4х - 2у + 5 = 0.

Ответ: у =2х - 6.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИс центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = /?²; уравнение окружности с центром в точке А{а; b) и ради­усом Rимеет вид (х - а)² + {у - b)² = /?²; уравнение окружности в общем виде имеет вид Ах² + Ау^г + Вх + Су + О = 0.