Об аксиоматическом способе построения теории

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила:

- некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения;

- каждому понятию теории, которое не содержится в списке основ­ных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью ос­новных и предшествующих данному понятий;

- формулируются аксиомы- предложения, которые в данной тео­рии принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий;

- каждое предложение теории, которое не содержится в списке ак­сиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремамии доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рас­сматриваемой.

Если построение теории осуществляется аксиоматическим мето­дом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория по­строена дедуктивно.

Упражнения

1. В чем суть аксиоматического способа построения теории?

2. Верно ли, что аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?

3. Назовите основные понятия школьного курса планиметрии. Вспомните несколько аксиом из этого курса. Свойства каких понятий в них описываются?

4. Дайте определение прямоугольника, выбрав в качестве родового понятие параллелограмма. Назовите три понятия, которые в курсе геометрии должны предшествовать понятию «параллелограмм».

5. Какие предложения называют теоремами? Вспомните, какова логическая структура теоремы и что значит доказать теорему.

Лекция 32.Аксиоматическое построение множества целых неотрица­тельных чисел

План:

1. Основные понятия и аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного числа

2. Сложение целых неотрицательных чисел. Таблицы сложения и умножения.

3. Умножение целых неотрицательных чисел. Законы сложения и умножения.

Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теорети­ко-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем назы­вать его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единствен­ный элемент а¢, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более од­ного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а со­держится в М, следует, что и а' содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение. Множество N, для элементов которого установ­лено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяю­щее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором зада­но конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовле­творяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отноше­ние «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отли­чаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел:

1,2,3,4,...

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, кото­рое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образова­ния этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натураль­ный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от чис­ла 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описыва­ет бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательст­во утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счет­ное множество, например:

I, II, III, IIII, ...

о, оо, ооо, оооо, …

один, два, три, четыре, …

Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество {оо} есть начальный элемент, а каждое последующее мно­жество получается из предыдущего приписыванием еще одного круж­ка (рис. 108,а). Тогда N есть множество, состоящее из множеств опи­санного вида, и оно является моделью системы аксиом Пеано. Дейст­вительно, в множестве N существует элемент {оо}, непосредственно не следующий ни за каким элементом данного множества, т.е. вы­полняется аксиома 1. Если счи­тать обведенные кружки за один элемент (рис. 108.6), то для каждого

а) {о о}, {о о о}, {о о о о}, …

б) { }, { о}, { о о}, …

Рис. 108

Рис. 109

множества А рассматриваемой совокупности существует единст­венное множество, которое получается из А добавлением одного круж­ка, т.е. выполняется аксиома 2. Для каждого множества А существует не более одного множества, из которого образуется множество А добавле­нием одного кружка, т.е. выполняется аксиома 3. Если М Ì N и из­вестно, что множество А содержится в М, следует, что и множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве А, также содер­жится в N, то М ~ N (и значит, выполняется аксиома 4).

Заметим, что в определении натурального числа ни одну из аксиом опустить нельзя - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные три аксиомы, а данная аксиома не вы­полняется. Это положение наглядно подтверждается примерами, приве­денными на рисунках 109 и 110. На рисунке 109, а) изображено множе­ство, в котором выполняются аксиомы 2 и 3, но не выполнена ак­сиома 1 (аксиома 4 не будет иметь смысла, так как в множестве нет эле­мента, непосредственно не следующего ни за каким другим). На рисун­ке 109, 6) показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не один, как требуется в аксиоме 2. На рисунке 109, в) изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 4, но элемент с непосредственно следует как за элементом а, так и за элементом b. На рисунке 110 пока­зано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 2, 3, но не выпол­няется аксиома 4 - множество точек, лежащих на луче, содержит 1 и вместе с

Рис. 110

каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним чис­ло, но оно не совпадает со всем множест­вом точек, показанных на рисунке.

То обстоятельство, что в аксиомати­ческих теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логиче­ским путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объ­ектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натураль­ных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следо­вать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее по­строение теории предполагает рассмотрение известных свойств нату­ральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натураль­ного числа, - это отношение «непосредственно предшествует», кото­рое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредствен­но предшествующим (или предшествующим) числу b .

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они форму­лируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1-4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b ' = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествую­щее. Если число а содержится в М, то и число а' также есть в N, по­скольку предшествующим для а' является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множе­ству М, следует, что и число а' принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Зна­чит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют един­ственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рас­сматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отраже­ние в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел пер­вого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натураль­ного ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенности натурального ряда чисел.

Упражнения

1. Можно ли аксиому 3 сформулировать в таком виде: «Для каждого элемента а из N существует единственный элемент, за которым непосредственно следует а»?

2. Выделите условие и заключение в аксиоме 4, запишите их, используя символы Î, =>.

3. Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N,...».

Сложение

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отно­шение «непосредственно следовать за», и понятия «натуральное чис­ло» и «предшествующее число».

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а', не­посредственно следующее за а, т.е. а + 1 = а' и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Вос­пользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, сумму а + b' можно найти, если известна сумма а + b . Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической опе­рации.

Определение. Сложением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) (" а Î N) а + 1 = а', 2)(" а, b Î N) а + b' =(а + b)'.

Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа аи b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел а и b сумма а + b - единственна. Другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. Особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единст­венна ли она? Поэтому при аксиоматическом построении теории на­туральных чисел доказывают следующие утверждение:

Теорема 3.Сложение натуральных чисел существует и оно един­ственно.

Эта теорема состоит из двух утверждений (двух теорем):

1) сложение натуральных чисел существует;

2) сложение натуральных чисел единственно.

Как правило, существование и единственность связывают вместе, но они чаще всего не зависят друг от друга. Существование какого-либо объекта не подразумевает его единственность. (Например, если вы говорите, что у вас есть карандаш, то это не значит, что он только один.) Утверждение о единственности означает, что не может сущест­вовать двух объектов с заданными свойствами. Единственность часто доказывается методом от противного: предполагают, что имеется два объекта, удовлетворяющих данному условию, а затем выстраивают цепочку дедуктивных умозаключений, приводящую к противоречию.

Чтобы убедиться в истинности теоремы 3, сначала докажем, что если в множестве N существует операция, обладающая свойствами 1 и 2, то эта операция единственная; затем докажем, что операция сложения со свойствами 1 и 2 существует.

Доказательство единственности сложения. Допустим, что в множестве N существует две операции сложения, обладающие свойст­вами 1 и 2. Одну из них обозначим знаком + , а другую - знаком Å. Для этих операций имеем:

1) а+1=а'; 1) аÅ 1=а';

2) а + b ' = (а + b )' 2) а Å b' = (а Å b)'.

Докажем, что если

(" а, b Î N) а + b = а Å b . (1)

Пусть число а выбрано произвольно, а b принимает различные на­туральные значения. Обозначим через М множество всех тех и только тех чисел b , для которых равенство (1) истинно.

Нетрудно убедиться в том, что 1 Î М. Действительно, из того, что а + 1= а'= аÅ 1 следует, что а + 1 = аÅ 1.

Докажем теперь, что если b Î М, то b'Î М, т.е., если а + b = а Å b, то а + b ' =

а Å b'. Так как а + b= а Å b, то по аксиоме 2 (а + b )' = (а Å b)' и тогда а + b ' = (а + b )' =(а Å b)' = а Å b'. Поскольку множество М содержит 1 и вместе с каждым числом b содержит и число b', топо аксиоме 4, множество М совпадает с N, а значит, равенство (1) истинно для любого натурального числа b. Так как число а было выбрано произвольно, то равенство (1) верно при любых натуральных числах а и b, то есть операции + и Å на множестве N могут отличаться друг от друга только обозначениями.

Доказательство существования сложения. Покажем, что алгебраическая операция, обладающая свойствами 1 и 2, указанными в определении сложения, существует.

Пусть М - множество тех и только тех чисел а, для которых можно определить а + b так, чтобы были выполнены условия 1 и 2. Покажем, что 1 Î М. Для этого при любом b положим

1 + b = b '. (2)

Тогда:

1) 1 + 1 =1'- по правилу (2), т.е выполняется равенство а + 1 = а при а = 1.

2) 1 + b ' = (b ')' = (1 + b)' - по правилу (2.), т.е. выполняется равенство а + b ' = (а + b)' при а = 1.

Итак, 1 принадлежит множеству М.

Предположим, что а принадлежит М. Исходя из этого предположения, покажем, что и а' содержится в М. т.е. что можно определить сложение а и любого числа b так, чтобы выполнялись условия 1 и 2.

Для этого положим:

а' + b = (а + b) ' (3)

Так как по предположению число а + b определено, то по аксиоме 2 единственным образом определяется и число (а + b )'. Проверим, что при этом выполняются условия 1 и 2:

1) а' + 1 = (а + 1)' = (а')'. Таким образом, а' + 1 = (а')'.

2) а' + b' = (а + b')' = ((а + b)') ' = (а' + b')'. Таким образом, а' + b' = (а' + b)'.

Итак, показали, что множество М содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит число а'. По аксиоме 4, заключаем, что множество М есть множество натуральных чисел. Таким образом, существует пра­вило, которое позволяет для любых натуральных чисел а и b одно­значно найти такое натуральное число а + b, что выполняются свой­ства 1 и 2. сформулированные в определении сложения.

Покажем, как из определения сложения и теоремы 3 можно вы­вести хорошо известную всем таблицу сложения однозначных чисел.

Условимся о следующих обозначениях: 1' = 2; 2' = 3; 3' = 4; 4' = 5 и т.д.

Составляем таблицу в такой последовательности: сначала к любо­му однозначному натуральному числу прибавляем единицу, затем число два, потом - три и т.д.

1 + 1 = 1' на основании свойства 1 определения сложения. Но 1' мы условились обозначать 2. следовательно, 1+1=2.

Аналогично 2+1 = 2' = 3; 3 + 1 = 3' = 4 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи, связанные с прибавлением к любому однозначному натуральному числу числа 2.

1+2=1 + 1' - воспользовались принятым обозначением. Но 1 + 1' = (1 + !)' согласно свойству 2 из определения сложения, 1 + 1 - это 2, как было установлено выше. Таким образом,

1 + 2 = 1 + 1' = (1 + 1)' = 2' = 3.

Аналогично 2 + 2= 2 + 1' = (2 + 1)' = 3' = 4; 3 + 2 = 3 + 1' = (3 + 1)' = 4' = 5 и т.д.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу сложения однозначных чисел.

Следующий шаг в аксиоматическом построении системы нату­ральных чисел - это доказательство свойств сложения, причем пер­вым рассматривается свойство ассоциативности, затем коммутатив­ности и др. Доказательства теорем следует рассмотреть как упражнения.

Теорема 4. (" а, b, с Î N) (а + b) + с = а + (b + с).

Теорема 5. (" а, b Î N) а + b = b + а.

Теорема 6. (" а, b Î N) а + b ¹ b.

Все доказанные свойства изучаются в начальном курсе математики и используются для преобразования выражений.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы?

2. Используя определение сложения, найдите значение выражений:

а) 2 + 3; б) 3 + 3; в) 4 + 3.

3. Какие преобразования выражений можно выполнять, используя
свойство ассоциативности сложения?

4. Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения:

а) (12 + 3)+17; б) 24+ (6+19); в) 27 + 13+18.

5. Докажите, что (" а, b Î N) а + b ¹ а.

6. Выясните, как формулируются в различных учебниках математики для начальной школы:

а) коммутативное свойство сложения;

б) ассоциативное свойство сложения.

7. В одном из учебников для начальной школы рассматривается
правило прибавления числа к сумме на конкретном примере (4 + 3) + 2
и предлагаются следующие пути нахождения результата:

а) (4 + 3) + 2 = 7 + 2 = 9;

б) (4 + 3) + 2 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9;

в) (4 + 3) + 2 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 =9.

Обоснуйте выполненные преобразования. Можно ли утверждать, что правило прибавления числа к сумме есть следствие ассоциативно­го свойства сложения?

8. Известно, что а + b= 17. Чему равно:

а) а + (b + 3); b) (а + 6)+ b; в) (13 + b) + а?

9. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида

а + b + с. Дайте обоснование этим способам и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

Умножение

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями.

Если любое натуральное число а умножить на 1. то получится а, т.е. имеет место равенство а × 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом:

если известно, что 7 × 5 = 35, то для нахождения произведения 7 × 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 × 6 = 7 × (5 + I) = 7 × 5 + 7. Таким образом, произведение а × b' можно найти, если известно произведение: а × b = а × b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) (" а Î N) а× 1 а.

2) (" а, b Î N) а× b' = а × b + а.

Число а × b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b - множителями.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта..

Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в оп­ределении умножения: 1 • 1 = 1; 2 •1 = 2; 3 •1 = 3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1 • 2 = 1 • 1' = 1 • 1 + 1 = 1 + 1 = 2- переход от произведения 1 • 2 к произведению 1 • 1' осуще­ствлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выраже­ния 1 • 1' к выражению 1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1 • 1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично: 2 • 2 = 2 • 1' = 2 • I + 2 = 2 + 2 = 4; 3 • 2 = 3 • 1' = 3 • 1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассо­циативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиомати­ческом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.

Но в связи с тем. что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.

Теорема 8. (" а, b, с Î N) (а + b) • с = а • с + b • с.

Теорема 9. (" а, b, с Î N) с •(а + b) = с • а + с • b

Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.

Теорема 10. (" а, b, с Î N) (а • b) • с = а • ( b • с).

Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4- 9.

Теорема 11.(" а, b Î N) а • b = b • а.

Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.

Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения иcпользуется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.

В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.

Упражнения

1.. Используя определение умножения, найдите значения выражений:
а) 3 • 3; 6) 3 • 4; в) 4 • 3.

2. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

3. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

4. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

5. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5 • (10 + 4); 6)125 • 15 • 6; в) (8 • 379) • 125?

6. Известно, что 37 • 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37 • 18; 6) 185 • 12.

Все выполненные преобразования обоснуйте.

7. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962 • 8 + 8962 • 2; б) 63402 • 3 + 63402 • 97; в) 849 +849 • 9.

8.. Какие свойства умножения будут использовать учащиеся началь­ных классов, выполняя следующие задания:

Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) 3 • 7 + 3 • 5; 6) 7 • (5 + 3): в) (7 + 5) • 3?

Верны ли равенства:

а) 18 • 5 • 2 = 18 • (5 • 2); в) 5 • 6 + 5 • 7 = (6 + 7) • 5;

б) (3 • 10) •17 = 3 • 10 • 17; г) 8 • (7 + 9) = 8 • 7 + 9 • 8?
Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 70 • 32 + 9 • 32 ...79 • 30 + 79 • 2; 6) 87 • 70 + 87 • 8 ... 80 • 78 + 7 • 78?

Лекция 33.Вычитание и деление целых неотрицательных чисел

План:

1. Упорядоченность множества натуральных чисел.

2. Определение вычитания целых неотрицательных чисел

3. Деление целых неотрицательных чисел. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком.