Лекция 25. Равенства и неравенства
План:
1. Понятие равенства и неравенства
2. Свойства равенств и неравенств. Примеры решения равенств и неравенств
Числовые равенства и неравенства
Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f= g, которое называют числовым равенством.
Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.
Числовое равенство истинно, если значения числовых выражении, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.
Свойства равенств и неравенств
Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.
1.Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
2.Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.
Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.
Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые.
1.Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.
2.Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.
3.Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.
Упражнения
1.Установите, какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:
а) (5,05: 1/40 - 2,8 ·5/6) ·3 +16·0,1875 = 602;
б) (1/14 – 2/7) : (-3) – 6 1/13 : (-6 1/13)> (7- 8 4/5) ·2 7/9 – 15: (1/8 – 3/4);
в) 1,0905:0,025 - 6,84·3,07 + 2,38:100 < 4,8:(0,04·0,006).
2.Проверьте, истинны ли числовые равенства: 13 • 93 = 31• 39, 14 • 82 = 41 • 28, 23• 64 = 32• 46. Можно ли утверждать, что произведение любых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?
3.Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:
a)2х > 2у; в) 2х-7< 2у-7;
б)-x/3<-y/3; г)-2х-7<-2у-7?
4. Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:
а) -3,7a * -3,7b; г) –a/3 * -b/3;
б) 0,12а * 0,12b; д) -2(а + 5) * -2(b + 5);
в)a/7 * b/7; е) 2/7 (a-1) * 2/7 (b-1).
5.Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; 3/4. Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3а истинно?
6.Выполните задания, которые предназначаются ученикам начальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в начальном курсе математики понятия числового равенства и числового не равенства:
а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, используя выражения: 9·3, 30-6, 3·9, 30-3.
б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2·3 = 18; 31-10-3 = 24; 54-12 + 8 = 34.
в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные
равенства: 3*6*2 = 9; 9*3*6 = 18.
7. Какиеответы учеников вы будете считать правильными при выполнении ими задания - сравнить выражения, не вычисляя их значения:
а) 70·32+ 9·32 ...79·30+ 79·2;
б)7·4 + 3·4...(7 + 8)·4;
в) 8500:1700 ...8500:100:17;
г) 24·6080... (6000 + 80)·24?
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 5636;