Выражения и их тождественные преобразования

Как известно, записи 3 + 7, 24:8, 3•2-4, (25 + 3)- •2- 17 называются числовыми выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, полу­чим число, которое называется значением числового выражения. Так, значение числового выражения 3•2-4 равно 2.

Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. Например, выражение 8: (4 - 4) смысла не имеет, поскольку его значение найти нельзя: 4 - 4 = 0, а деление на нуль невозможно. Не имеет смысла и выражение 7-9, если рассматривать его на множестве натуральных чисел, так как на этом множестве значения выражения 7-9 найти нельзя.

Рассмотрим запись 2a + 3. Она образована из чисел, знаков дейст­вий и буквы а. Если вместо а подставлять числа, то будут получаться различные числовые выражения:

если a = 7, то 2•7 + 3;

если a = 0, то 2•0 + 3;

если а = -4, то 2• (-4) + 3.

В записи 2а + 3 такая буква а называется переменной, а сама запись 2а + 3 - выражением с переменной.

Переменную в математике, как правило, обозначают любой строч­ной буквой латинского алфавита. В начальной школе для обозначе­ния переменной кроме букв используются другие знаки, например ¨. Тогда запись выражения с переменной имеет вид: 2-¨ + 3.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения. Например, область определения выражения 5:(х - 7) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7, так как при х =• 1 выражение 5: (7 - 7) смысла не имеет.

В математике рассматривают выражения, содержащие одну, две и больше переменных. Например, 2а + 3 - это выражение с одной пере­менной, а (Зх + 8y)·z - это выражение с тремя переменными. Чтобы из выражения с тремя переменными получить числовое выражение, надо вместо каждой переменной подставить числа, принадлежащие области определения выражения,

Итак, мы выяснили, как образуются из алфавита математического языка числовые выражения и выражения с переменными. Если про­вести аналогию с русским языком, то выражения - это слова матема­тического языка.

Но используя алфавит математического языка, можно образовать и такие, например, записи: (3 + 2)) - ·12 или 3х -у:+)8, которые нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной. Эти примеры свидетельствуют о том, что описание - из каких знаков алфавита математического языка образуются выражения число­вые и с переменными, не является определением этих понятий. Да­дим определение числового выражения (выражение с переменными определяется аналогично).

Определение. Если f и g - числовые выражения, то (f) + (g), (f)-(g), (f) ·(g), (f):(g) - числовые выражения. Считают, что каждое чис­ло является числовым выражением.