Тождественные преобразования выражений
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18·4 + 4·4 заменяли выражением 72+16, а выражение 3х(х-2) + 4(х-2) - выражением (х - 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.
Определение. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.
Примером тождественно равных выражений могут служить выражения 5(х + 2) и 5х + 10, поскольку при любых действительных значениях д: их значения равны.
Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.
Например, 5(х + 2) = 5х + 10-тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: (V х € R) 5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
Так, заменив выражение 5(х + 2) на тождественно равное ему выражение 5х + 10, мы выполнили тождественное преобразование первого выражения. Но как, имея два выражения, узнать, являются они тождественно равными или не являются? Находить соответствующие значения выражений, подставляя конкретные числа вместо переменных? Долго и не всегда возможно. Но тогда каковы те правила, которыми надо руководствоваться, выполняя тождественные преобразования выражений? Этих правил много, среди них - свойства алгебраических операций.
Приведем пример тождественных преобразований выражения.
Упражнения
1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:
а) 42:5; б) 27; в) 32+-): 14; г) 2·7 = 7·2;
д) (17+13):10-15; е)142>71·2.
2.Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматривать их на множестве натуральных чисел:
а) (135 + 67)·12; б)(135-217):2; в) 362:4?
3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:
а)8 + 0,3b; б)21-(4+y); в) x+2y<7; г) 32:у + 3 = 5у?
4.Установите, какова область определения выражений, если рассматривать их на множестве действительных чисел:
а) (3-y):64; б) 64:(3-у); в) (5+x):(x-12).
5. Известно, что выражение называется по своему последнему действию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:
| Выражение | Название выражения | |
| (12·5 + 3:(2 + 7))·18 | ||
| (23- | (23 -7·6-4+ 15):(17-6) | |
| 21 + | 21 + (35·3:8-14:5) | |
| 19- | 19-8:4 + 5 |
6. Вычислите значение выражения:
а) ((36:2-14)·(42·2-14)+ 20):2;
б)(72:12-(18-15)):(24:3-2·4);
в) (16,583:7,21 + 54,68·853,2 + 28,82·0,1): 1,6-1,02.
7.Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 – 3x тождественно равными на множестве:
а) {1,2, 3,4}; б) действительных чисел.
8. Какие из следующих равенств являются тождествами на множестве действительных чисел:
а)3p + 5т = 5т + 3р; в) Зр·5т = 5т·3р;
б) 3p - 5т = 5т - 3р; г) 3p : 5т = 5т : 3р?
9. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:
а) 324·5 =(300 + 20 + 4)·5 = 300·5 + 20·5 + 4·5 = 500+100 + 20=1500+120=1620;
6)97·12 =(100-3)·12= 100·12-3·12=1200-36 = 1100 + (100-36) = 1164;
в) 5(1-2х)+10x = 5-10x+ 10x = 5.
10.Объясните, почему отношение «иметь одно и то же значение» на множестве числовых выражений является отношением эквивалентности. Какие следствия из этого факта используются при выполнении тождественных преобразований числовых выражений?
11.Упростите выражение путем тождественных преобразований:
а)6(2аb-3)+2a(6b-5); б)(12a-16b):4-(10a-4b).
12.Сравните значения выражений, не выполняя действий:
а)(30+56)·5 и 30·5 + 56·5;
б)(19+4)·7 и 19·7+10·7;
в)(14-7)·6 и 16·6-7·6;
г)(18-9)·7 и 18·7-11·7.
13. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:
а) На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разбились на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?
б) В мастерской за 5 дней сшили 2000 фартуков. Сколько фартуков сошьют за 8 дней, если будет шить в день на 50 фартуков больше?
в) Слесарь обработал 6 деталей. Первую деталь он обрабатывал 18 мин, а каждую следующую на 3 мин быстрее, чем предыдущую. Сколько минут потребовалось для обработки всех деталей?
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 4022;