Свойства алгебраических операций
Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объединение и пересечение множеств.
Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозначать символами: * (читается - «звездочка») и о (читается - «кружок»).
Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.
Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство
(x*y)*z=x*(y*z).
Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).
Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых натуральных чисел х, у и z выполняется равенство (х + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. Поэтому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.
Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).
Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но переставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.
Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из множества X выполняется равенство
х*у = у*х.
Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равенства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.
Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. Например, 12-7≠7-12.
Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.
Определение. Алгебраическая операция о называется дистрибутивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:
1) (х*y)оz = (x o z)*(y o z) и 2) z o (х*у) = (z o х)*(z о у).
Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняется только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.
Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.
Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: возведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)z - = хz-уz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натуральных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получаем х уz = ху-хz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. операция возведения в степень не является дистрибутивной слева относительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.
Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как известно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства
(x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y
А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z - справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.
Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях выражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на примере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то
(x + у)·(z + р)= x·(z + р) + у·(z + р)= (x·z + x·р) + (у·z + y·р).
А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно записать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.
Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре нейтральными и поглощающими.
Определение. Элемент е из множества X называется нейтральным относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.
Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.
Определение. Элемент р из множества X называется поглощающим относительно алгебраической операции *, если для любого элемента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.
Если поглощающий элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.
Так, в множестве Zо целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Zо выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умножения: для любого x из множества Zо верны равенства: х·0 = 0·х = 0.
Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сложению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.
Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.
Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.
Определение. Пусть * - сократимая и коммутативная алгебраическая операция, заданная на множестве X. Тогда операция о называется обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.
Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х - у тогда и только тогда, когда у + z = х.
Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество Zо целых неотрицательных чисел, которое является объединением множества натуральных чисел и нуля: Zо = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сложения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (Zо, +, •). Ее основные характеристики:
1) Сложение и умножение на множестве Zоассоциативно и коммутативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:
(V х,у € Zо) х + у = у + х;
(V х,у € Zо) х·у = у·х;
(V х,у,z € Zо) (х + у) + z = х + (у + z);
(V х,у,z € Zо) (х·у)·z = х·(у·z);
(V х,у,z € Zо) (х +у)·z = х·z +у· z.
2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:
х + а= у + а => х = у
х·а = у·а => х = у.
3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:
(V х € Zо) х + 0 = 0 + х = x:;
(V х € Zо) х· 0 = 0· x = 0.
Единица является нейтральным элементом относительно умножения:
(V х,у € Zо) х •1 = 1•x = x.
4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в Zо частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умножению (исключая деление на нуль):
x-у = z ó у + z = x
х:у~2 ó у-z = х.
5) Вычитание и деление обладают свойствами:
(a-c)+b, если а≥с
(а+b) – c= a+(b-c), если b≥c
а - (b + с) = (а - b) - с = (a - с) - b, если a ≥ b + с;
(a+b):c = a:c+b:c, если a:c и b:c;
(a:c)·b, если а:с
(а·b) : c= a·(b:c), если b:c
а:(b-с) = (а:b):с= (а:с):b, если a:b и a:c
Названные характеристики алгебры (Zо, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.
Упражнения
1. Запишите, используя символы, что сложение и умножение коммутативно и ассоциативно на множестве Q рациональных чисел, а умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
2.Коммутативны ли следующие алгебраические операции:
а) возведение в степень на множестве N;
6) деление на множестве Q;
в) нахождение наибольшего общего делителя натуральных чисел?
3. Сократимо ли вычитание и деление на множестве Qрациональных чисел?
4.Какое множество является поглощающим элементом относительно пересечения множеств? Ответ обоснуйте.
5.Сформулируйте определение деления как операции, обратной умножению.
6.Выясните, как формулируются свойства сложения и умножения в различных учебниках по математике для начальной школы.
7.Запишите все свойства действий, характеризующих алгебру (Zо, +, •).
53. Основные выводы § 11
Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со следующими понятиями:
- алгебраическая операция на множестве;
- множество, замкнутое относительно алгебраической операции;
- частичная алгебраическая операция;
- нейтральный элемент относительно алгебраической операции;
- поглощающий элемент относительно алгебраической операции;
- обратная операция.
Мы выяснили, что алгебраические операции могут обладать свойствами:
- коммутативности;
- ассоциативности;
- дистрибутивности (слева и справа);
- сократимости.
Установили, что в начальном курсе математики изучают алгебру (Zо, +, •).
Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 12717;