Понятие функции Грина

Чтобы решить уравнение , где L= p линейный дифференциальный оператор. Предположим, что мы нашли оператор, обратный к L (обозначим его через L^-1 ), такой что (где I - тождественный оператор). Например, если , то L^-1 является оператором интегрирования ; .

Для дифференциального оператора общего вида можно предположить, что L^-1 представляет собой интегральный оператор с ядром , то есть

1.

Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.

Действуя вновь оператором по (1), получаем

2.

Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть

3.

И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем

4.

Известно, что , должно иметь следующие соотношение

5.

Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на d - функцию.

Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие

Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина

x(t) y(t)

Система называется инвариантной во времени (или систем с постоянными параметрами). Если входное воздействие возрождает отклик .

Если входным сигналам x₁(t) и x₂(t) соответствуют выходные сигналы y₁(t)и y₂(t)и при этом входной сигнал (а₁ и а₂ - константы) и ???? выходной сигнал - то система называется линейной.

при - условие физической реализуемости.

Для стационарных систем

.