Вычисление дивергенции в ДСК

Введем ДСК и получим выражение дивергенции в этой системе координат. Из определения 2.5 следует, что результат вычисления не должен зависеть от выбора первоначальной поверхности , поэтому в качестве замкнутой поверхности удобно выбрать достаточно малый (в пределе бесконечно малый) прямоугольный параллелепипед (см. рис. 4.). Разобьем полную поверхность на совокупность граней и обозначим противоположные грани штрихом, тогда

Рис. 1.3. Вычисление дивергенции в ДСК

где - поток вектора соответствующие противоположные грани параллелепипеда. Вычислим, например, .

Очевидно, что на и . На и

. Интегралы по поверхностям вычислим по теореме Лагранжа о среднем:

где -- приращение вертикальной компоненты поля при переходе от грани к противоположной - . Аналогичные вычисления справедливы и для оставшихся граней:

Полный поток векторного поля через замкнутую поверхность равен сумме

Подставим это выражение в формулу (2.10) и устремим к нулю:

. Окончательно можно записать:

(2.14)

Формула (2.14) задает выражение дивергенции в ДСК, вид которого зависит от выбора системы координат, в то время как определение (2.10) является инвариантным.

Подведем некоторый итог. С одной стороны, поток вектора через замкнутую поверхность (2.4) зависит от распределения поля по поверхности и равен разности количества выходящих и входящих векторных линий. С другой стороны, эта разность пропорциональна суммарной мощности источников и стоков, заключенных внутри поверхности. Это позволило записать интегральное уравнение, связывающее источники с полем. Чтобы получить дифференциальное уравнение, потребовалось понятие дивергенции (2.10). Таким образом, мы имеем первое уравнение векторного поля в интегральной (2.9) и дифференциальной (2.12) формах. С помощью этих уравнений можно решат как прямую (вычисление функции , описывающей распределение источников и стоков по заданному распределению поля в обл. D), так и обратную задачу (определение поля по известной плотности мощности источников и стоков ). Обратная задача теории поля значительно сложней прямой, так как для ее решения необходимо рассматривать уравнения в частных производных. И все же, основная проблема не в этом. Посмотрим на уравнение (2.12) более внимательно. В ДСК оно имеет вид:

(2.15)

Мы имеем одно скалярное уравнение, в то время как неизвестных функций три: т.е. количество неизвестных больше числа уравнений. Таким образом, мы приходим к неутешительному выводу о том, что обратная задача теории поля при наличии только одного уравнения (2.15), в общем случае, не имеет однозначного решения. Для нас это означает, что нам рано останавливаться на достигнутом. Необходимо строить еще дополнительные уравнения, которые бы связали поле с порождающими его причинами. Это и будет темой следующей лекции.

Упражнение 2

1) Построить векторные линии следующих векторных полей:

a)

b) где

c)

d) где

e) , где

2) Построить векторные линии магнитного поля бесконечного проводника с током, заданного формулой: где - вектор тока, - радиус-вектор точки ,

-расстояния от оси проводника до точки .

3) Вычислить поток векторного поля - радиус-вектор через прямой круговой цилиндр высотой h, радиусом основания R и осью симметрии Oz.

4) Найти поток векторного поля через сферу радиуса R с центром в начале координат.

5) Используя теорему Остроградского - Гаусса, вычислить потоки векторных полей через указанную замкнутую поверхность S.

a)

b)

c)

6) Найти дивергенцию следующих векторных полей в ДСК:

a)

b)

c) $

7) Вычислить дивергенцию следующих векторных полей, используя ее свойства:

a)

b)

c)

d)

e)

Лекция 3