Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.

Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , более удобной , например , полярной .

Если 1) подынтегральная функция или 2) уравнение границы области интегрирования В содержит сумму , то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам , т.к. в полярных координатахх.

 

.

 

Рассмотрим , как двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть имеем двойной интеграл

 

,

 

где функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D .

Будем считать , что область D такова , что любая прямая , проходящая через начало координат , пересекает границу области более , чем в 2-х точках.

Преобразуем интеграл от прямоугольных координат к полярным координатам r и q .

При выводе формулы преобразования мы воспользуемся , хотя и не вполне строгим ,но простым и наглядным геометрическим методом рассуждений .

 

Отнесём область D к полярным координатам , приняв ось ОХ за полярную ось , а начало координат за полюс .

В этом случае , как легко установить , прямоугольные координаты точки связаны с полярными координатами следующим соотношениями :

 

 

Для того , чтобы получить все точки плоскости ОХУ , достаточно , очевидно, ограничиться знчениями r³ 0 и 0 £q£ 2p.

По определению двойной интеграл

 

.

 

Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области , то мы можем разбить область D по своему усмотрению.

Рассмотрим такое дробление области D , чтобы легче было осуществить преобразование двойного интеграла к полярным координатам .

Разобъём область D на частичные области с помощью 1) концентрических окружностей с центром в полюсе и 2) лучей , исходящих из полюса О.

Пусть этому разбиению области D отвечает интегральная сумма

( Площади частичных областей Di( i =1,2, . . . , n) обозначим через DSi ).

Частичная область Di представляет собой криволинейную фигуру, ограниченную двумя дугами концентрических окружностей радиусов ri и ri+1 и двумя отрезками лучей .

 

.

Обозначим ( Средний радиус между ri и ri+ Dri).

 

Тогда .

 

Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( xi ,hi ) областей Di выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиуса ri .

Согласно формулам для произвольно выбранной т. ( xi ,hi ) будем иметь

 

 

(взяли , т.к. точка находится на окружности радиуса ).

Угол qi – между полярной осью и лучом , проходящим через т. ( xi ,hi )

 

Тогда

В пределе получим :

 

Т.к. слева в равенстве стоит интегральная сумма для непрерывной функции f (x,y) , а справа – интегральная сумма также для непрерывной функции f(rcosq, rsinq)r , то пределы этих сумм существуют и равны соответствующим двойным интегралам .

 

 

Подставив в сумму получим

 

.

Его можно сформулировать так :

Правило преобразования .

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах , нужно :

1) в подынтегральной функции f(x,y) заменить х и у соответственно через rcosq и rsinq;

2) элемент площади dxdy в прямоугольных координатах заменить произведением rdrdq( которое называют элементом площади в полярных координатах ).

Сначала отмечают крайние значения a и b полярного угла q .

Угол a соответствует точке А , угол b – точке В контура . точки А и В разбивают контур ( границу области D) на 2 части : АСВ и ВЕА, уравнения которых соответственно обозначают через r1 = r1( q ) и r2 = r2( q ) , где r1( q ) и r2( q ) – непрерывные функции , заданные на сегменте [a,b] . Следовательно, область D ограничена 1) линиями

r1 = r1( q ) – уравнение АСВ,

r2 = r2( q ) – уравнение ВЕА и

 

2) двумя лучами , образующими с полярной осью углы a и b ; причём a<b ; r1( q ) и r2( q ) – непрерывные функции .

Следовательно , пределы внешнего интеграла будут a и b . Найдём пределы внутреннего интеграла .Для этого фиксируем произвольное значение угла q между a и b , затем из полюса О под углом q проводим луч ОЕ.

Точка входа этого луча в области D лежит на линии r1 = r1( q ) , а точка выхода его из области D лежит на линии r2 = r2( q ) .

Уравнения этих линий и дают соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла :

 

. (

Пример 6.8.7.

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в следующем интеграле :

 

.

Решение

 

.

 

Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,

где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х2 + у2 = е2 и х2 + у2 = 1 .

y

 


x

 

 

 


 

Пример 6.8.9.Вычислить , где (D) область , ограниченная полярной осью и кривой с дополнительным условием : полярный угол .

Решение .

 

Кривая - лемниската . Определим , как изменяется угол j в области D . С увеличением угла j ( при условии j<p/2) полярный радиус r уменьшается . При некотором значении j он становится равным нулю . Найдём это значение j .

Подставим в уравнение лемнискаты r = 0 и получим уравнение для определения j :

 

( учтено условие , что j<p/2 ).

Таким образом , в области D полярный угол изменяется от 0 до p/4 .

Переменная r изменяется в области D от r= 0 до , по формуле

.

 

 








Дата добавления: 2016-10-17; просмотров: 402; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2019 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.009 сек.