Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S

R(x,y,z) – непрерывная функция .

Разобьём S произвольно на n частей G₁ , G₂ , . . . ,G_n .

Выберем по произвольной точке М_i (x_i , h_i, V_i) .

Составим интегральную сумму :

= ,

где DS_i – площадь G_i , так как точка V_i = Z(x_i , h_i) .

Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем

.

Аналогично :

.

G₁ – проекция S на Oyz .

G₂ – проекция S на Ozх .

Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cosa , cosb , cosg ) , тогда

Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак .

Пример 6.8.11.Вычислить

, где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .

.

Формула Остроградского