Пример решения задачи 1 контрольной работы.

На основе статистических данных показателя и фактора найти оценки параметров линии регрессии в предположении, что стохастическая зависимость между фактором и показателем имеет вид .

Используя критерий Фишера с надежностью оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Найти:

- с надежностью доверительную зону базисных данных;

- точечную оценку прогноза;

- с надежностью интервальную оценку прогноза;

- оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза.

Построить графики:

- фактических данных, линии регрессии и ее доверительной зоны – на одном графике;

- линии эластичности.

Исходные данные:

	1,7	2,28
	2,9	2,34
	4,4	2,37
	7,8	2,42
	10,9	2,46
прогноз	13,0	?

Решение.

Преобразуем уравнение линии регрессии:

,

и заменой переменных , приведем уравнение регрессии к линейному:

.

Исходные данные преобразуем с помощью формул

, . (2.1)

Оценки параметров и линейной модели найдем по формулам:

; (2.2)

; (2.3)

где обозначено

; ;

; .

Для оценки параметров составим расчетную таблицу 2.1

На основе данных из таблицы для находим

;

;

;

;

.

По формулам (2.2), (2.3) находим

;

.

Получили уравнение стохастической зависимости (2.1) между и :

,

которое соответствует зависимости между и :

.

Для оценки адекватности полученной модели исходным данным найдем теоретические значения

, а затем (см. табл. 2.1)

и величину -критерия

,

Вычисление величин сведем в расчетную таблицу 2.1.

Находим

Вычислим коэффициент детерминации

Результаты вычисления коэффициента детерминации по различным формулам практически совпадают, что свидетельствует о правильности вычислений.

Найдем индекс корреляции (корреляционное отношение) .

Для проверки вычислим наблюдаемое значение критерия Фишера по формуле

Значения , найденные по различным формулам почти совпадают.

По таблице критических точек распределения для и степеней свободы и находим . Так как , то считаем, что построенная модель адекватна исходным данным.

Для построения доверительной зоны исходных данных построим сначала доверительную зону для преобразованных данных . Теоретические значения найдены выше (см. табл. 2.1). Найдем интервальные оценки для :

,

где обозначено

,

.

Величина вычислена ранее: . Вычисление сведем в таблицу 2.1:

Величина находится по таблице критических точек распределения Стьюдента для и . Из таблицы находим .

Находим .

Формула для вычисления принимает вид

.

Значения и записываем в табл. 2.1. Далее находим и границы доверительной зоны исходных данных

Результаты вычислений заносим в таблицу 2.1.

Точечную оценку прогноза найдем по формуле

Таким образом, с вероятностью , .

Найдем коэффициент эластичности заданной модели и его оценки при заданных и . По определению коэффициент эластичности равен

.

Для получаем

Оценки при заданных имеют вид

Аналогично,

Значения и заносим в таблицу 2.1.

Строим графики фактических данных, линии регрессии и ее доверительной зоны:

Строим график эластичности:

Выводы:

1. Уравнение регрессии имеет вид . Поскольку , то с вероятностью 0,95 можно считать, что принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным и на основе этой модели можно выполнять экономический анализ и находить значения прогноза.

2. Для точечная оценка прогноза имеет значения . С надежностью 0,95 прогноз показателя будет иметь значения в интервале (2,44; 2,53).

3. Для прогноза изменение фактора на 1% вызовет изменение показателя на 0,07%.

Таблица 2.1

	1,7	2,28	1,3038	5,1984	1,70	27,0234	6,7777	5,2616	2,2938	0,0064
	2,9	2,34	1,7029	5,4756	2,90	29,9822	9,3244	5,4234	2,3288	0,0020
	4,4	2,37	2,0976	5,6169	4,40	31,5496	11,7820	5,5834	2,3629	0,0001
	7,8	2,42	2,7928	5,8564	7,80	34,2974	16,3558	5,8651	2,4218	0,0023
	10,9	2,46	3,3015	6,0578	10,90	36,6969	19,9998	6,0713	2,4640	0,0081
	13,0		3,6056					6,1945	2,4889
	27,7	11,87	11,1986	28,2051	27,70	159,5495	64,2397			0,0189
средние	5,54	2,374	2,2397	5,6410	5,54	31,9099	12,8479

(продолжение таблицы 2.1.)

	0,00019	0,0088	0,00399	0,8759	0,1207	5,1409	5,3823	2,27	2,32	0,038
	0,00013	0,0012	0,00272	0,2882	0,092	5,3314	5,5154	2,31	2,35	0,045
	0,00005	0,0000	0,00112	0,0202	0,075	5,5084	5,6584	2,35	2,38	0,051
	0,00000	0,0021	0,00008	0,3059	0,093	5,7721	5,9581	2,40	2,44	0,060
	0,00002	0,0074	0,00018	1,1274	0,131	5,9403	6,2023	2,43	2,49	0,067
				1,8657	0,2295	5,9660	6,4230	2,44	2,53	0,069
	0,00039	0,0195	0,00809
средние

Глава Ш.