Прогноз в моделях линейной регрессии.

Вернемся к рассматриваемому примеру. Мы имеем ряд значений независимой переменной x (затраты на рекламу) и зависимой переменной у (доход от продажи продукции). На основании этих данных мы построили линейную модель. Поскольку модель адекватна, то можно прогнозировать изменение объема продажи продукции в зависимости от изменения затрат на рекламу. При этом можно получить два типа прогноза: точечный и интервальный. Точечный прогноз дает значение зависимой переменной для соответствующего значения на основании построенной модели

.

При этом, исходя из общей модели, действительное значение у для прогноза равняется

,

где – значение случайной величины.

Таким образом, значение прогноза является оценкой истинного значения переменной .Полученный прогноз является точечной оценкой. Исходя из полученного точечного прогноза, можно построить доверительный интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение зависимой переменной. Такой доверительный интервал при заданном уровне значимости находится по формуле

(1.24)

где – значения критерия Стьюдента при заданном уровне значимости и числе степеней свободы , – дисперсия ошибок, .

Обратим внимание, что доверительный интервал становится шире по мере удаления х от своего среднего значения, так как, чем дальше от центра, тем меньше уверенность в значении спрогнозированного значения y.

На практике больше используется построение доверительного интервала для математического ожидания , т.е. доверительный интервал для

.

Формула доверительного интервала для промежуточных значений имеет вид:

(1.25)

Пример 4.Продолжим рассмотрение зависимости объема реализации продукции от затрат на рекламу. Напомним, что построенная модель имеет вид .

Найдем значение прогноза объема реализации продукции при затратах на рекламу : . Построим доверительный интервал зависимой переменной. Дисперсию ошибок мы находили в предыдущем примере: . Заметим, что . При уровне значимости и числу степеней свободы по таблице распределения Стьюдента находим .

Таким образом,

.

Доверительный интервал имеет вид т.е. или .