Методы решения ОДУ.

Обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть решены следующими методами:

аналитическими;
численными;
графическими;
приближенными.

Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.

Графические методы дают приближенное решение в виде графика.

Численные методы дают частное решение для определенных в виде таблицы, Численные методы применяются только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким, у которых малое изменение начальных значений, приводит к малому изменению интегральных кривых.

Пример.

Пусть дано следующее ОДУ:

Необходимо решить задачу Коши для .

Начальные условия имеют вид:

Общее решение имеет вид:

при решение .

Однако при малом изменении начальных условий:

решение в точке : . То есть имеет место плохо обусловленная задача.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

Выбрав достаточно малый шаг h, строится система равноотстоящих точек .

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам:

При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку