Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АЭП

Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:

ОДУ n-го порядка имеет вид:

Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:

или

Таким образом, решение дифференциального уравнения n-го порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (количество дифференциальных уравнений в системе = n).

Если ввести следующие обозначения:

,

то систему дифференциальных уравнений можно переписать в векторно-матричном виде:

(1)

,где

Задача Коши.

Задача Коши, или задача с начальными условиями, имеет следующие дополнительные условия:

Краевая задача.

Когда дополнительные условия заданы как в точке , так и в точке .

Задача на собственные значения.

Если функция зависит от параметров :

,

где .

Число дополнительных условий должно быть соответственно . Функции где ; удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.