Численное решение систем нелинейных уравнений

Постановка задачи

Дана система линейных уравнений

(1)

Введём обозначения: вектор - вектор аргументов:

Аналогично вектор функций

Тогда систему 1 можно переписать в виде:

Система линейных уравнений в общем виде неразрешима. Поэтому мы будем рассматривать только численные методы решения системы линейных уравнений.

Метод Ньютона

Для уравнения имеет вид:

По анологии метод Ньютона для системы линейных уравнений

где - вектор аргументов на -ом шаге итерации

- значения вектора функций (системы уравнений ) при

- обратная матрица Якоби

- матрица, Якоби-матрица, состоящая из частных производных

Вполне естественно очевидно, что формулу Ньютона можно применять в том случае, когда Якоби-матрица неособенная, невырождённая, то есть .

Пример:

Дано:

Матрица Якоби

Превоначальная оцнка

1)

2)

3)

- = - =

и так далее

Результаты итераций лучше всего сводить в таблицу

	3,4	0,097	2,2	0,076
	3,497		2,276

Прекращаем вычисления, когда - заданная точность.

Как и в любых численных методах встают следующие задачи: о сходимости метода и о выборе начального значения.