Метод Гаусса. Схема с выбором главного элемента

1. Выбираем элемент - наибольший по модулю и неявляющийся свободным членом.

2. Вычисляем коэффициенты

, для всех

-тая строка называется главной строкой.

3. Из каждой неглавной строки вычитаем главную строку, умноженную на . В результате получим матрицу, у которой в -ом столбце все коэффициенты нулевые.

4. Преобразуем матрицу следующим образом: отбрасываем - (главную) строку и -й столбец. Получим матрицу .

5. Делаем подобные преобразования над матрицей до тех пор, пока не получим одну строку из двух столбцов, которая является главной.

6. Для определения . Объединим все главные строки, начиная с последней. После надлежащего изменения неизвестных получается система с треугольной матрицой.

При работе на ЭВМ при вывод главного элемента может оказаться достаточно трудоёмкой задачей. Поэтому практически в качестве главной строки берут первую строку, а в качестве главного элемента - наибольший по модулю элемент этой строки.

Пример:


	-0,6			-1
I		5			-4	-12	-17
	-0,4				-1
	-0,2		-5		-3		-1
	-0,333		1,6	0,8	-0,4	-1,2	0,8
II	-0,083		0,4	2,2	-2,6	-3,8	-3,8
			-4,8	3,6	-3,8	0,6	-4,4
III	0,571			2,0	-1,665	-1,0	-0,665
				2,5	-2,915	-3,75	-4,165
IV				0,572		1,141	1,713
V						2,0
VI						3,0
VII						-1,0
VIII						1,0

Достоинства метода

1. Если матрица вырождения, то перед исключением неизвестной главный элемент считается равным нулю =>

2. С помощью метода Гаусса можно вычислить определитель треугольной матрицы.

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной.

В этих случаях для нахождения корней системы лучше пользоваться приближёнными численными методами.

Метод итераций

Дана система уравнений

Можно привести систему к такому виду, чтобы диагональные элементы были отличные от нуля, то есть , тогда разрешая -тое уравнение относительно , получаем