Вторая улучшенная формула Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение в каждой точке определяется по формуле:

,

где

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления ломаной берется среднее этих направлений.

Пример.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

0.0	1.000
0.1	1.110
0.2	1.241

Метод Рунге-Кутта.

Метод Эйлера относится к семейству методов Рунге-Кутта.

Метод Рунге-Кутта -го порядка имеет вид:

,

где при фиксированных значениях некоторых параметров:

последовательно вычисляются:

,

где

Метод Рунге-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:

1) высокая точность

2) явная схема вычислений за определенное количество шагов и по определенным формулам.

3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.

4) легко оформляется.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

.

Решение ОДУ имеет вид:

0.0	1.000
0.1	1.110
0.2	1.241