МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана таблица измерений:

Тогда задача формулируется следующим образом: для функции F(x_i), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

a, b, m, c – неизвестные параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.

Рассмотрим задачу в общем виде.

Приближающая функция имеет общий вид:

Сумма квадратов:

Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:

т. е.

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).

Естественно, что F(x_i) отличается от y_i , но отношения

будут минимальны в среднеквадратичном случае.

Рассмотрим метод наименьших квадратов для различных функций.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Разделив каждое уравнение на n, получается:

Введем обозначения:

Таким образом, получается система линейных уравнений с неизвестными: a и b:

Разрешив данную систему уравнений относительно неизвестных параметров а и b, определим искомую функцию

Результаты вычислений лучше всего оформить в виде таблицы

						E

Значение E определяет близость аппроксимирующей функции к исходной. E определяется по следующей формуле:

Естественно, чем меньше E, тем аппроксимирующая функция ближе к исходной функции.