Понятие множества и антиномии

Множества и отношения

Объекты, с которыми работает математика: числа, функции, последовательности, уравнения, геометрические фигуры – все представляются с помощью множеств. В данной главе обсуждаются логические проблемы, связанные с понятием множества, и предлагается способ разрешения этих проблем на основе системы аксиом Цермело и Френкеля, позволяющей дать конструктивное определение множества. Вводятся основные определения, необходимые для изложения математической логики.

Понятие множества и антиномии

Интуитивно множество представляется как собрание или совокупность объектов произвольной природы. Оно может быть задано перечислением этих объектов:

A = {a, b, c, …}

Объекты a, b, c, … называются элементами множества A, а тот факт, что объект является элементом множества A, записывается как a Î A и читается: «a принадлежит A».

Если каждому объекту x ставится в соответствие либо 1 (истина), либо 0 (ложь), то говорят, что задано свойство F(x).

Множество может быть задано как совокупность объектов, для которых F(x) = 1, в этом случае пишут:

A = {x : F(x)}.

Например, положительные действительные числа задаются формулой:

A = {x : x – действительное число и x > 0}.

Теория множеств была создана Георгом Кантором примерно в 1873 году, в работах, связанных со сходимостью рядов Фурье. Вначале она была встречена с недоверием, но с начала девяностых годов стала широко применяться в анализе и геометрии.

Противоречия, связанные с определением множества как совокупности произвольных объектов, называются антиномиями или парадоксами теории множеств. Первая из антиномий была обнаружена в 1895 году Бурали и Форти. В 1899 году Кантор установил с помощью другой антиномии, что совокупность всех множеств не является множеством. Тем не менее, ситуация не казалась слишком серьёзной. В 1902 году Бертран Рассел нашел антиномию, относящуюся к самым началам теории множеств и показывающую, что в основаниях этой дисциплины не все благополучно.

Антиномия Рассела.Пусть А – множество, элементами которого являются все множества, не содержащие себя в качестве элемента

A = {x : x Ï x}.

Тогда в случае A Ï A множество A будет элементом множества А. Если же А – элемент множества А, то A Ï A. Ни A Î A, ни A Ï A не справедливо.

Полученное противоречие показывает, что А – не множество.

Противоречия возникают и при определении множеств, число элементов которых конечно.

Антиномия Греллинга.Некоторые русские прилагательные, например, «русское», «многосложное», «неодносложное», обладают свойством, которое они называют: прилагательное «русское» само является русским, а «многосложное» – многосложным. Прилагательные «французское», «односложное», «душистое» таким свойством не обладают, и мы назовём их гетерологическими. Прилагательное «гетерологическое» является гетерологическим, если и только если оно негетерологическое.

Полученное противоречие показывает, что множество гетерологических прилагательных не существует. На эту антиномию обратили внимание Греллинг и Нельсон в 1908 году.