Принцип максимальности

Некоторые математические утверждения невозможно доказать без аксиомы выбора. Про эти утверждения говорят, что они зависят от аксиомы выбора или справедливы в теории ZFC, на практике вместо аксиомы выбора для доказательства используют обычно либо аксиому Цермело, либо лемму Куратовского-Цорна, либо любое другое утверждение, равносильное аксиоме выбора.

Лемма Куратовского-Цорна. Если каждая цепь в частично упорядоченном множестве (X, £) ограничена сверху, то в X есть по крайней мере один максимальный элемент.

Эта лемма равносильна аксиоме выбора, и поэтому её можно принять в качестве аксиомы.

Теорема.Для любого частично упорядоченного множества (X, £) существует отношение, содержащее отношение £ и превращающее X в линейно упорядоченное множество.

Доказательство. Множество всех отношений порядка, содержащих отношение £, упорядочено отношением включения Í. Поскольку объединение цепи отношений порядка будет отношением порядка, то по лемме Куратовского-Цорна существует максимальное отношение R, такое, что x £ y влечет x R y. Докажем, что R – отношение, линейно упорядочивающее X. Предположим противное: пусть существуют a, b Î X такие, что ни (a, b), ни (b, a) не принадлежат R. Рассмотрим отношение:

R¢ = R È {(x, y): x R a и b R y}.

Оно получается добавлением пары (a, b) к R и пар (x, y), которые должны быть добавлены к R¢ из условия, что R¢ – отношение порядка. Легко видеть, что R¢ рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Получаем R Ì R¢, противоречащее максимальности R, следовательно, R – искомое отношение линейного порядка.

Линейно упорядоченное множество X называется вполне упорядоченным, если всякое его непустое подмножество A Í X содержит наименьший элемент a Î A. Лемма Куратовского-Цорна и аксиома выбора эквивалентны также следующему утверждению:

Аксиома Цермело. Для каждого множества существует отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Например, множество w натуральных чисел является вполне упорядоченным. Принцип индуктивности обобщается следующим образом:

Трансфинитная индукция. Если (X, £) – вполне упорядоченное множество и F(x) – свойство его элементов, верное для наименьшего элемента x₀ Î X и такое, что из истинности F(y) для всех y < z следует истинность F(z), то F(x) верно для всех x Î X.

Здесь y < z означает, что у £ z, но y ¹ z. Действительно, в противном случае среди x Î X, не обладающих свойством F(x), можно выбрать наименьший элемент x₁, и выполнение F(y) для всех y < x₁ приводит к выполнению F(x₁), противоречащему предположению.

Понятие мощности

Пусть f: X à Y и g: Y à Z – отображения множеств. Поскольку f и g – отношения, то определена их композиция g ° f(x) = g(f(x)). Если h: Z à T – отображение множеств, то h ° (g ° f) = (h ° g) ° f. Отношения Id_X и Id_Y – функции, стало быть, определены композиции Id_Y ° f = f ° Id_x = f. При X = Y определим f² = f ° f, f³ = f² ° f, …, fⁿ⁺¹ = fⁿ ° f.

Отображение f: X àY называется инъекцей, если для любых элементов x₁ ¹ x₂ множества X справедливо f(x₁) ¹ f(x₂). Отображение f называется сюръекцией, если для каждого y ÎY существует такой x Î X, что f(x) = y. Если f является и сюръекцией, и инъекцией, то f называется биекцией. Легко видеть, что f – биекция тогда и только тогда, когда обратное отношение f^-1 Í Y ´ X является функцией.

Будем говорить, что справедливо равенство |X| = |Y|, если существует биекция между X и Y. Положим |X| £ |Y|, если существует инъекция f: X à Y.

Теорема Кантора-Шредера-Бернштейна. Если |X| £ |Y| и |Y| £ |X| , то |X| = |Y|.

Доказательство. По условию, существуют инъекции f: X à Y и g: Y à X. Пусть A = g¢¢Y = Img – образ множества Y относительно отображения g. Тогда

(X \ A) Ç (gf)¢¢(X \ A) = Æ,

(gf)¢¢(X \ A) Ç (gf)²¢¢(X \ A) = Æ, …,

(gf)ⁿ¢¢(X \ A) Ç (gf)ⁿ⁺¹¢¢(X \ A) = Æ, …

Рассмотрим отображение j: X à A, заданное как j(x) = gf(x), при

x Î (X \ A) È (gf)¢¢(X \ A) È (gf)²¢¢(X \ A) È …, и j(x) = x в остальных случаях. Легко видеть, что j – биекция. Искомая биекция между X и Y будет равна g^-1 ° j.

Антиномия Кантора

Положим |X| < |Y|, если |X| £ |Y| и не существует биекции между X и Y.

Теорема Кантора. Для любого множества X справедливо |X| < |P(X)|, где P(X) – множество всех подмножеств множества X.

Доказательство. Ясно, что |X| £ |P(X)|. Предположим, что существует биекция f: X à P(X). Рассмотрим подмножество:

A = {x Î X : x Ï f(x)}.

Если существует y Î X, для которого f(y) = A, то из y Î A будет следовать: y Ï f(y) = A; а из y Ï A = f(y) следует: y Î A. Отсюда нет элементов y Î X, таких, что f(y) = A, и, стало быть, f – не биекция. Теорема доказана. Эта теорема показывает, что необходимость уточнения понятия множества была известна Георгу Кантору:

Антиномия Кантора. Предположим, что все множества составляют некоторое множество U. Тогда каждое подмножество A Í U принадлежит U. Стало быть, P(U) Í U и имеет место |P(U)| £ |U|, что противоречит теореме Кантора. Следовательно, собрание всех множеств не является множеством.