Аксиомы Цермело-Френкеля

Аксиомы формулируются с помощью символов переменных x, y, A, B, X, Y, x₁, x₂, … и отношений Î и =. Значениями переменных служат множества. Кроме множеств, объектов нет. Если множества связаны отношениями x Î y, то говорят, что x является элементом множества y, или y содержит элемент x. Каждая аксиома утверждает о существовании некоторого множества. Таким образом, множества строятся с помощью аксиом.

Аксиома пустого множества. Существует множество, не содержащее элементов. Это множество обозначается Æ.

Аксиома экстенсиональности. Два множества равны, если и только если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, x = y тогда и только тогда, когда z Î x влечет
z Î y, и наоборот, из z Î y следует z Î x.

Упражнение 1

Доказать, что пустое множество является единственным.

Аксиома (неупорядоченной) пары. Для любых множеств x и y существует множество, состоящее из элементов x и y.

Это множество обозначается {x, y}. Положим {x} = {x, x}.

Упражнение 2

Доказать единственность множества {x, y}.

Указание. Для решения упражнений 1 и 2 воспользуемся аксиомой экстенсиональности.

Определим упорядоченную пару как (u, v) = {{u},{u, v}}, упорядоченную тройку (u, v, w) = ((u, v), w). Аналогично определяются упорядоченные четверки, пятерки и т.д.

Аксиома объединения. Для каждого множества x существует множество Èx, элементами которого служат элементы элементов множества x. Таким образом,
z Î Èx означает существование u Î x такого, что z Î U.

Положим, что AÈB = È{A, B}.

Будем говорить, что x – подмножество множества y и будем писать: x Í y, если каждый элемент z Î x является элементом множества y.

Аксиома множества подмножеств. Для каждого множества x существует множество P(x), элементами которого служат все подмножества множества x.

Для любого множества x положим: x + 1 = x È{x}. Определим натуральные числа по индукции:

0 = Æ, 1 = {Æ}, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, … . Таким образом, n = {0, 1, 2, …, n-1}.

Аксиома бесконечности. Натуральные числа составляют множество, которое будет далее обозначаться через w = {0, 1, 2, 3, …}; это множество w является наименьшим среди множеств, содержащих все натуральные числа.

Если каждому множеству x сопоставляется F(x) = 1, или F(x) = 0, то будем говорить, что задано свойство множеств F(x). В дальнейшем понятие свойства будет уточнено. В действительности свойство F(x) должно выражаться из отношений = и Î с помощью логических связок и кванторов, поэтому каждому из рассматриваемых свойств можно поставить в соответствие натуральное число, и все такие свойства содержатся в последовательности: F₀(x), F₁(x), F₂(x), …

Схема аксиом выделения. Пусть F(x) – свойство множеств. Тогда для каждого множества А элементы x Î A, для которых F(x) = 1, составляют множество.

Обозначим это множество через {x Î A : F(x)}.

Определим: A Ç B = {a Î A : a Î B}, A \ B = {a Î A : a Ï B}. Здесь a Ï B означает, что a не является элементом множества B.

Декартово произведение A ´ B определяется как

A ´ B = {(a, b) : a Î A и b Î B}.

Упражнение 3

Доказать, что A ´ B – множество.

Указание. Воспользуемся схемой аксиом выделения, аксиомами объединения и множества подмножеств, и включением A ´ B Í P(P(A È B)).

Определим по индукции декартово произведение множеств:

X₁ ´ X₂ ´ … ´ X_n = (X₁ ´ X₂ ´ … ´ X_n-1) ´ X_n

В случае X₁ = X₂ = … = X_n = X обозначим: X₁ ´ X₂ ´ … ´ X_n через Xⁿ. Определим X⁰ = {Æ} как множество, состоящее из одного элемента.

Отношением между X и Y называется произвольное подмножество R Í X ´ Y. Множество Dom R = {x Î X : существует y Î Y такой, что (x, y) Î R} называется областью определения отношения R. Множество Im R = {y Î Y : существует x Î X такой, что (x, y) Î R } называется образом отношения R.

Отображением или функцией f: X à Y называется такое отношение f Í X ´ Y, что Dom f = X и для любых (x, y) Î f, (x, z) Î f верно равенство y = z. Если f – функция, то f(x) обозначает элемент, для которого (x, f(x)) Î f.

Упражнение 4

Пусть Y^X состоит из всех функций f: X à Y. Доказать, что Y^X – множество.

Упражнение 5

Для произвольных функций f: X à Y и подмножества A Í X ограничением f|_A функции f на A называется функция A à Y₀, принимающая значения f|_A(a) = f(a) при
a Î A. Пусть f¢¢A = Im (f|_A). Доказать, что – f¢¢A множество.

Упражнение 6

Доказать, что если f: w à {0, 1} – функция, для которой f(0) = 1, и из f(x) = 1 следует f(x + 1) = 1, то f(x) = 1 для всех x Î w.

Бинарной операцией на множестве X называется произвольная функция: a:X´XàX. Значения этой функции a(x, y) записываются в инфиксной форме x a y.

Определим операцию сложения + : w x w ® w натуральных чисел по индукции:

x + 0 = x,

x + 1 = x È {x},

x + 2 = (x + 1) +1,

…

x + (n + 1) = (x + n) + 1,

для любых x, n Î w.

Будем говорить, что натуральное число x строго меньше, чем y, и будем писать: x < y, если существует неравное нулю n Î w, такое, что x + n = y.

Множество пар (x, y), удовлетворяющих соотношению x < y, будет отношением между w и w.

Пусть I – множество. Если каждому i Î I по некоторому правилу сопоставляется множество X_i, то говорят, что задано семейство множеств .

Например, X₀ = w, X₁ = P(w), …, X_n = P(X_n-1), …, задает семейство . С помощью рассмотренных аксиом невозможно доказать, что {X₀, X₁, X₂, …} – множество.

Схема аксиом подстановки. Для любого семейства множеств существует множество {X_i : i Î I}, элементами которого служат все множества X_i.

Положим: , .

Декартовым произведением семейства называется множество:

.

Аксиома выбора. Для произвольного семейства непустых множеств декартово произведение не пусто.

Иными словами, из каждого X_i можно выбрать по одному элементу. Аксиома выбора не зависит от других аксиом. Поэтому различают теорию множеств ZF без аксиомы выбора и теорию множеств ZFC с аксиомой выбора.

Аксиома регулярности. Всякое непустое множество A содержит элемент
x Î A такой, что A Ç x = Æ.

Эта аксиома принадлежит фон Нейману. Она была названа им аксиомой фундирования, поскольку эта аксиома не допускает существования бесконечной последовательности множеств x₀ x₁ x₂ … В самом деле, в противном случае множество A={x₀, x₁, x₂, …} не удовлетворяет аксиоме.

Упражнение 7

Доказать, что в предположении аксиомы выбора аксиома регулярности следует из утверждения о том, что не существует бесконечных последовательностей множеств x₀ x₁ x₂ …

Указание. Если A не удовлетворяет аксиоме регулярности, то существует последовательность x₀ Î A, x₁ Î A Ç x₀, x₂ Î A Ç x₁, …