Лекция 7 Теория пределов и непрерывности функции

(Тема 3.1.)

План лекции

Числовые последовательности, монотонные, ограниченные последовательности.

Предел последовательности, основные свойства предела.

Бесконечно малые и бесконечно большие величины, связь между ними.

Предел функции.

Свойства предела.

Замечательные пределы.

Односторонние пределы.

Понятие непрерывности функции.

Точки разрыва и их классификация.

Асимптоты графика функции.

Определение:Последовательностью называют упорядоченную переменную величину, у которой можно пронумеровать все значения, причем {x_n}, n = 1, 2, 3, 4. . .

p<q, следовательно x_p предыдущая к x_q .

Примеры: Гарм оническая последовательность.

{0; 1111…1}=0,1; 0,11; 0,111;. . .;

Предел последовательности

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n} , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенствуêx_n - a ê < e.

Записывают это следующим образом: или x_n ® a.

Неравенство равносильно двойному неравенству a- e < x_n < a + e, которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Т.о

Точка а называется точкой сгущения.

Пример. Покажем, что пределом последовательности является 0.

, выбираем ε. Путь дано ε >0, тогда решим неравенство:

Начиная с все члены последовательности <

Определение:Последовательность называется бесконечно малой величиной, если её предел равен нулю.

; – бесконечно малая величина.

Для того чтобы число а являются пределом последовательности a_n необходимо и достаточно, чтобы члены этой последовательности были представлены в виде суммы предыдущих значений а и некоторые бесконечно малые величины _n, т.е.

a_n = a + _n, где