Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

Теорема: Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при (при ), то функция является бесконечно большой при (при ). И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при (при ), то функция есть величина бесконечно малая при (при ).

Раскрытие неопределённостей.

Если при вычислении пределов получается отношение вида или , то сразу сказать чему равен предел нельзя. В этом случае говорят, что получена неопределённость вида или . Для раскрытия таких неопределённостей можно разложить числитель и знаменатель дроби на множители, разделить числитель и знаменатель дроби на переменную в наибольшей степени или применить замечательные пределы. Раскрытие неопределённостей вида сначала сводится к неопределённостям вида или .

Односторонние пределы

Определение: число А₊ будем называть правым односторонним пределом функции f (x), если для любого, сколь угодно малого, e > 0 найдется положительное число δ, такое, что как только выполнено неравенство 0 < x – a < δ (a < x < a + δ), так сразу f (x) попадает в эпсилон-окрестность числа А₊, т.е.:

Т.о.Число А называется правым пределом функции f(x) в точке а, если такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию верно неравенство │

Обозначается:

Аналогично определяется левый односторонний предел: и в этом случае неравенство будет иметь вид: 0 < а – х < δ (a – δ < x < a).

Число А называется левым пределом функции f(x) в точке а, если такое, что для каждого х, удовлетворяющего условию верно неравенство │

Обозначается:

Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом x<a, то пишут x®a-0. Числа и называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы = .

Непрерывность функции.

Определение 1.Функция называется непрерывной в точке х₀ если:

1. Эта функция определена в некоторой окрестности точки х₀.

2. Существует конечный предел при , т. е.

3.

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента х, соответствует бесконечно малое приращение функции то есть

Итак, функция f (x) называется непрерывной в точке а, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке, т.е.:

Если функции и непрерывны в точке х₀ , то:

1. их сумма (разность) (f (x) + g (x)), (f (x) – g (x)) является функцией непрерывной в точке х₀

2. их произведение (f (x) × g (x))является функцией непрерывной в точке х₀

3. их частное , при условии >0, является функцией непрерывной в точке х₀

4. если функция непрерывна в точке u₀, а функция непрерывна в точке х₀, то сложная функция непрерывна в точке х₀.

Определение: Функция называется непрерывной на промежутке Х если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теорема: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.

Определение: пусть функция y = f (x) определена на промежутке [a; b] и принимает значения на промежутке [α; β], и пусть на промежутке [α; β] определена функция z = z (y), тогда будем говорить, что на промежутке [a; b] определена сложная функция z = z (f (x)).

Пример:

Теорема: если функция y = f (x) непрерывна в точке а, а функция z = z (f (x)) непрерывна в точке f (a), то сложная функция z = z (f (x)) будет непрерывной в точке а.

Точки разрываподразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные, но неравные между собой односторонние пределы ; .

Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва для функции , если существует предел при , а сама функция в точке х₀ либо не определена, либо не равно пределу .

Разрыв можно устранить если функцию доопределить в точке х₀ или изменить её значение следующим образом (сделать равными) .

Пусть х₀ - точка разрыва первого рода, тогда скачком функции в точке х₀ называется разность односторонних пределов.

Чтобы найти значение скачка надо от значения правого предела вычесть значение левого предела.

Точки устранимого разрыва и точки скачка являются точками разрыва 1-го рода.

Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода (точкой бесконечного разрыва)функции если в этой точке не существует хотя бы один конечный односторонний предел слева или справа.

Свойства функций непрерывных на отрезке.

Функция называется непрерывной на отрезке [a,b] если она непрерывна на интервале (a,b) и, кроме того в точке a-непрерывна слева, а в точке b-справа.

Теорема Вейерштрасса: Если функция непрерывна на отрезке [a,b] , то на отрезке [a,b] она достигает своего наибольшего и наименьшего значения , то есть существуют такие точки х₁ и х₂ , что для всех x выполняются неравенства и ( x₁ - максимум, x₂ - минимум).

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], тогда на этом промежутке она достигает свои наибольшее и наименьшее значения, т.е.:

; f (x₁) = m; f (x₂) = M.

Теорема Больцано-Коши: Если непрерывна на отрезке [a,b] и на концах его принимает различные значения, то между точками a и b найдется точка с, такая что

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b],

т.е.: f (x) Î C _{[a; b]} и пусть на концах этого промежутка она принимает значения разных знаков (f (a) × f (b) < 0), тогда внутри промежутка [a; b] существует точка С, в которой функция обращается в ноль:

f (a) × f (b) < 0 Þ $ с Î (a; b) : f (c)=0

Таких точек (С) в принципе может быть несколько. Теорема Коши гарантирует, что есть хотя бы одна.

Замечание: на первой теореме Коши основан один из приближенных методов решения алгебраических уравнений, а именно метод половинного деления (дихатомии).

Точность, с которой найден корень, равна половине ширины отрезка (a; b), обозначается δ.

2) на втором шаге выбирают в два раза меньший отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Обозначают его границы a₁; b₁, и в качестве второго приближенного значения корня берут его середину:

И так далее. На n-м шаге получим n-е приближенное значения корня:

Теорема Коши: Пусть непрерывна на отрезке [a,b] и , , тогда найдется для любого числа С, заключенного между числами А и В, внутри отрезка АВ ( ) такая точка С, что Если функция f (x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и принимает на концах этого промежутка разные значения, т.е. f (a) ≠ f (b), то для любого числа γ между числами f (a) и f (b) найдется (внутри промежутка (a; b)) точка С, такая, что функция в этой точке равна γ, т.е.

Вторая теорема Коши является следствием первой теоремы Коши.

Следствие из теорем Коши и Вейерштрасса:

Если f (x) непрерывна на замкнутом отрезке [a; b], то ее значения сплошь заполняют некоторый замкнутый промежуток.

Замечание: графики непрерывных функций на координатной плоскости являются непрерывными кривыми, т.е. их можно нарисовать не отрывая карандаш от листа бумаги.

Лекция 8 Дифференциальное исчисление функции одной переменной (Тема 3.2.)

План лекции

Определение производной её геометрический и физический смысл.

Производные элементарных функций.

Производная сложной функции, дифференциал функции.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Исследование функций с помощью дифференциального исчисления.

Понятие производной

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при (при условии, что этот предел существует).

Производная обозначается или

Итак, по определению, .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Исходя из определения, составить, опираясь на рассуждения студентов, алгоритм отыскания производной.

Пусть функция у = f (x) определена в точке х₀ и во всех точках, достаточно близких в точке х₀, т.е. в некоторой окрестности точки х₀. тогда выберем приращение аргумента ∆х такое, что х₀ + ∆х не выходит за пределы этой окрестности. Тогда составим и вычислим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии ∆х→ 0. Если этот предел имеет конечное значение, то он называется производной функции f (x) в точке х₀ , т.е.

Для производной используются также другие обозначения:

Теорема: если функция у = f (x) имеет производную в точке х₀ , то она непрерывна в этой точке (обратное утверждение в общем случае неверно).

Геометрический смысл производной функции f (x) в точке х₀ состоит в том. Что она равна тангенсу угла наклона (т.е. угловому коэффициенту) касательной, проведенной в этой же точке.

Понятие производной впервые ввели: Ньютон, исходя из задач механики, и Лейбниц, исходя из геометрических построений, которые мы только что рассмотрели.

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Касательная проходит через точку с координатами (х₀; f(х₀)) и имеет угловой коэффициент , тогда получим следующее уравнение касательной:

Нормалью к кривой будем называть прямую линию, проходящую через точку касания перпендикулярно касательной (смотри рис.1).

Нормаль проходит через ту же самую точку с координатами (х₀; f(х₀)), угловой коэффициент нормали: . Получим уравнение:

Геометрический смысл производной.

Обозначим угол наклона секущей через β. Тогда: .

Устремим ∆х к нулю, тогда секущая превратиться в касательную, проведенную к кривой в точке х₀. угол наклона касательной обозначим через a.

Получим:

∆х→ 0

Пример Используя определение производной, найти производную функции в точке .Решение. Придавая аргументу в точке приращения , найдем соответствующее приращение функции:

Составим соотношение .Найдем предел этого отношения при

Следовательно, производная функции в точке равна числу 2 , что в принятых обозначениях можно записать так:

Вычисление производных

Основные формулы дифференцирования:

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.

Правила дифференцирования:1)

2)

3)

4)

5) правило дифференцирования сложной функции: , тогда: . Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по ее аргументу на производную внутренней функции.

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент каса­тельной к графику функции y = f(x) в точке x, т. е. y ^/ = tg a. Производная есть скорость изменения функции в точке x.

ПримерИспользуя правила и формулы дифференцирования, найти производные функции: .

Решение: .

ПримерИспользуя правила и формулы дифференцирования, найти производные функции:

Решение.

Производные высших порядков

Пусть мы нашли для функции y=f(x) ее производную y ¢= f ¢(x). Производная от этой производной называется производной второго порядка функции f(x), или второй производной, и обозначается .

Аналогично определяются и обозначаются:

производная третьего порядка - ,

производная четвертого порядка -

и вообще производная n-го порядка - .

Понятие дифференциала

Пусть функция определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности.

Определение: дифференциалом независимой переменной х будем называть ее приращение (Δx = x – x₀), dx = Δx – для независимой переменной.

Определение:функция f (x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде: . , где

Определение: дифференциалом функции f (x) называется главная линейная часть ее приращения, т.е. , (1)

Положив в формуле (1) , получаем , окончательно соотношение (1) принимает вид: (2)

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу .

ПримерНайти дифференциал функции в точке x=2, причем сделать это двумя способами:

1) выделяя главную, линейную относительно часть приращения функции ;

2) по формуле (2).

Решение.

1) отсюда ,

2) по формуле (2), Следовательно, получаем .

ПримерВычислить дифференциал функции .

Решение.