Лекция 6 Кривые второго порядка

(Тема 2.3.)

План лекции

Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

Построение кривых 2-го порядка.

Уравнение вида Ах²+2Вху+Су²+2Dх+2Еу+F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А,В,С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Окружность. Уравнение окружности с центром в точке С(a;b) и радиусом, равным R:

Эллипс. Каноническое уравнение

Координаты фокусов: (-с;0) и (с;0), где с=

Эксцентриситет: Уравнения директрис:

Гипербола. Каноническое уравнение

Координаты фокусов: (-с;0) и (с;0), где с=

Уравнения асимптот:

Эксцентриситет: Уравнения директрис:

Парабола. Каноническое уравнение

Координаты фокуса: ( ,0). Уравнение директрисы:

В таблице приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

Таблица

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
	Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная	- каноническое уравнение эллипса	2а – большая ось; 2b – малая ось 2с–межфокус-ное; расстояние с2=а2-b2; - эксцентриси-тет, 0<e<1. Т. А1,А2,В1,В2 – вершины эллипса
	Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная	- каноническое уравнение гиперболы	2а–действи-тельная ось; 2b–мнимая ось; 2с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2; - эксцентри-ситет, e>1. Точки А1,А2 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты
3.	Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.	у2=2px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ     x2=2pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY	F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы (рис.6а)   F - фокус, ди-ректриса. Точка (0;0) – вершина параболы