Глава 5 Законы распределения случайных величин в задачах надежности электроснабжения

Для решения теоретических и практических задач надёжности производственных ЭС и их элементов надо знать законы распределения их отказов. Они получаются посредством обобщения статического материала об отказах. [12]

Примем случайную величину (СВ) «Т» за время безотказной работы. За время эксплуатации восстанавливаемых элементов ЭС — «t» величина «Т» принимает «n» значений. Совокупность этих случайных значений величины — статическая выборка объёма «n». Если значения СВ «Т» расположить в возрастающем (убывающем) порядке и указать относительно каждого как часто оно встречается, то имеем распределение СВ или вариационный ряд, на основании которого определяем аналитическую форму неизвестной плотности вероятности f (t) = φ(t) или функцию распределения F (t).

Большое значение имеет графический метод изображения вариационного ряда:

— Полигон распределения (многоугольник): по оси абсцисс откладываем интервалы значений СВ, в их серединах строим ординаты, пропорциональные частотам и концы ординат соединяем.

— Гистограмма распределения: над каждым отрезком оси абсцисс, изображающем интервал значений СВ, строится прямоугольник, высота которого пропорциональна частотам интервала.

При уменьшении длинны каждого интервала гистограмма приближается к некоторой плавной кривой, соответствующей плотности распределения величины. Таким образом, при построении гистограммы получаем представление о дифференциальном законе распределения СВ «Т».

— Статическая функция распределения F*(t) — частота событий Т < t в данной выборке:

F*(t) = p*(T < t), (5.1)

где t — текущая переменная:

р* — частота или статическая вероятность события.

F*(ti) = ni/n, (5.2)

где ni — число отказов, при которых Т < t;

n — число наблюдений.

Если Т — непрерывная величина, то при увеличении «n» (объема выборки) F*(t) — интегральная функция распределения величины Т.

Таким образом, построение статической функции распределения F*(t) решает вопрос об установлении на основе экспериментальных данных закона распределения СВ. Но использование F*(t) неудобно, так как экспериментальные точки гистограммы колеблются около неизвестной кривой истинного распределения.

Для выяснения теоретического закона распределения СВ заданного F (t) или f (t) = φ(t) производится обработка статических данных. Выбирается аппроксимирующая функция f (t) = φ(t), которая согласуется с данными эксперимента f0 (t) = f (t). Для оценки правдоподобия этого приближённого вероятностного равенства разработано несколько критериев согласия проверяемых гипотез относительно вида функции (аппроксимирующей и данных эксперимента) f0 (t) и f (t).

Итак, закономерности СВ описываются с помощью интегральной функции распределения вероятностей для дискретных и непрерывных СВ. Кроме того, для описания распределения вероятностей непрерывных СВ применяется дифференциальная функция распределения вероятностей или дифференциальный закон распределения СВ.

При анализе надежности преимущественно находят применение законы распределения, которые определяются с помощью небольшого количества числовых характеристик. Так, например, показательный (экспоненциальный) закон распределения определяется лишь одним параметром — математическим ожиданием случайной величины. Нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами математическим ожиданием случайной величины и дисперсией.

Настоящий раздел составлен по материалам литературы [3, 6, 7, 10]. Там же можно ознакомиться с доказательствами основных положений и выводов, а также расширить знания по интересующему вопросу.