Экспоненциальное (показательное) распределение

Показательным (экспоненциальным)называют распределение вероятностей непрерывной СВ Т, которое описывается плотностью [5]:

(5.20)

где λ — постоянная положительная величина.

В определенных случаях принимают λ=λ(t)=const, это можно делать когда:

— есть оборудование, у которого контроль перед вводом в эксплуатацию отсеивает почти все дефектные элементы;

— есть элементы, которые практически не стареют;

— у большинства элементов имеется длительный период, на котором интенсивность отказов практически постоянна.

Из выражения (5.20) видно, что показательное распределение определяется одним параметром λ. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

Графики плотности и функции распределения показательного закона показаны на рисунке 5.3.

Найдем вероятность попадания в интервал (а, в) непрерывной СВ Т. Эта вероятность есть приращение функции распределения непрерывной СВ Тна заданном интервале (см. рисунок 5.4).

Рисунок 5.3 — Графики плотности f (t) и функции

распределения F (t) показательного закона

Рисунок 5.4 — Приращение функции распределения в интервале (а, в)

Учитывая, что: F (a) = 1 – e-λa, F (в) = 1 – e-λв.

Получим:

P (a<T< в) = e-λa – e-λв. (5.21)

Числовые характеристики показательного распределения следующие:

— математическое ожидание:

mt = M (T) = 1/λ (5.22)

— дисперсия величины Т:

Д(T) = 1/λ2 (5.23)

— среднее квадратическое отклонение:

σt = = 1/λ (5.24)

— среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа):

Tср = 1/λ. (5.25)

Показательное распределение широко применяется на практике, в частности в теории надежности, одним из основных понятий которой являются функция надежности и функция ненадежности.

Вероятность безотказной работы за время длительностью t будет равна:

R (t) = P (T > t) = 1 – F (t). (5.26)

Функцию R (t), определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t называют функцией надежности.

Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказаза время длительностью t и называется функцией ненадежности.

На практике длительность времени безотказной работы элемента часто имеет показательное распределение с функцией распределения:

F (t) = 1-e-λt. (5.27)

Поэтому, согласно выражению (5.26), функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента будет иметь вид:

R (t) = 1 — F (t)= e-λt (5.28)

Функцию надежности, определяемую равенством (5.28), называют показательным законом надежности. Основное свойство этого закона состоит в том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение объекта не зависит от прошлого, если в настоящий момент он работоспособен.

Графики, характеризующие вероятность отказа Q (t) и вероятность безотказной работы P (t), представлены на рисунке 5.5.

Рисунок 5.5 – Вероятность отказа Q (t) и безотказной

работы P (t) при экспоненциальном законе распределения