Относительное равновесие жидкости в сосуде,
вращающемся вокруг оси с постоянной угловой скоростью
Рассмотрим открытый цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью (рис. 2.19).
Если систему отсчета связать с вращающимся цилиндром, то жидкость в такой системе будет находиться в относительном покое. Поскольку из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то компоненты имеют вид:
, , .
Переносное ускорение это в данном случае центростремительное ускорение частиц, вращающихся по окружности радиуса :
,
где - есть расстояние рассматриваемой точки от оси вращения: .
Подставляя компоненты векторов и в уравнения (2.36), записанные в виде полного дифференциала, получаем:
. (2.37)
Рис. 2.19. Относительное равновесие жидкости
во вращающемся сосуде
Интегрируя (2.37), находим:
(2.38)
где - постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования может быть найдена, если считать известным давление хотя бы в одной точке вращающейся жидкости. Например, если уровень жидкости на оси цилиндра считать известным, а именно, , то давление в этой точке следует принять равным давлению на свободной поверхности жидкости:
.
Отсюда находим: . Подставляя в (2.38), получаем формулу для распределения давления:
(2.39)
или
. (2. )
Используя (2.39), можно найти уравнение свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде. Поскольку во всех точках этой поверхности давление постоянное , то уравнение этой поверхности имеет вид
или
. (2.40)
Уравнение (2.40) определяет в пространстве параболоид вращения, выпуклый вниз, с координатами вершины , рис.2.19. Если вычислить объем жидкости, находящейся в сосуде под свободной поверхностью
,
где радиус цилиндра, то получим зависимость координаты вершины параболы от объема жидкости в сосуде и угловой скорости вращения:
, (2.41)
где глубина жидкости в цилиндре, если он не вращается. Из (2.41) следует, в частности, что при достаточно большой угловой скорости вращения вершина параболы может коснуться дна, т.е. сделаться равным 0. Такая картина имеет место, если угловая скорость вращения цилиндра определяется равенством
. (2.42)
Если , то некоторая круговая область дна цилиндра становится сухой, т.е. непокрытой жидкостью.
Другие поверхности равного давления в жидкости, вращающейся вместе с сосудом, на которых > , определяются, как это следует, из (2.39), уравнениями
, (2.43)
т.е. представляют собой параболоиды вращения, сдвинутые друг относительно друга вдоль вертикальной оси.
Дата добавления: 2016-05-16; просмотров: 1899;