Движущейся с постоянным ускорением

Рассмотрим цистерну, частично заполненную жидкостью и движущуюся по прямой с постоянным ускорением (рис. 2.20). Если систему отсчета связать с цистерной, то жидкость в такой системе будет находиться в относительном покое.

Рис. 2.20.Относительное равновесие жидкости в цистерне, движущейся с постоянным ускорением

В рассматриваемом случае компоненты вектора массовых сил и составляющие вектора переносного ускорения имеют вид:

Уравнения Эйлера (2.36), записанные в форме полного дифференциала, дают в рассматриваемом случае следующее выражение:

(2.44)

Интегрируя это уравнение, получаем:

, (2.45)

где постоянная интегрирования. Для того чтобы найти эту постоянную, предположим, что - какая-нибудь точка свободной поверхности жидкости в цистерне. Поскольку давление в этой точке известно и равно , то имеем:

.

Подставляя в (2.45), получаем формулу для распределения давления в цистерне:

. (2.46)

Поверхностями равного давления , в т.ч., и свободная поверхность жидкости, являются плоскости, уравнения которых имеют вид:

,

причем свободная поверхность жидкости имеет уравнение

. (2.47)

Отсюда видно, что свободная поверхность жидкости перпендикулярна вектору с координатами . Угол наклона этой плоскости к горизонту, определяется равенством

Пример 1. В открытом цилиндрическом сосуде радиуса м находится вода, уровень которой составляет м. С какой угловой скоростью должен вращаться этот сосуд вокруг своей вертикальной оси, чтобы свободная поверхность жидкости касалась дна?

Решение. Используя формулу (2.42), имеем:

.

Ответ: = 66 с^-1.

Пример 2. Открытый цилиндрический сосуд радиуса м содержит л воды. В боковой поверхности сосуда на высоте м от дна имеется малое отверстие, закрытое пробкой. Найти максимальную угловую скорость, с которой может вращаться сосуд вокруг своей вертикальной оси, чтобы пробка, рассчитанная на перепад давлений не более Па, не вылетела из отверстия.

Решение. Используя формулу (2.39), имеем:

.

Отсюда находим давление на стенке сосуда на высоте от его дна:

.

Выразив , согласно (2.41), через объем жидкости в сосуде

,

и подставив найденное значение в предыдущее уравнение, получим:

,

где . Отсюда видно, что по мере увеличения угловой скорости вращения цилиндра увеличивается перепад давлений в рассматриваемой точке его стенки. Максимальная угловая скорость вращения цилиндра, при которой будет достигрут перепад давления, определится выражением

Подставив сюда численные данные, найдем:

.

Ответ: .

Пример 3. Определить угол наклона свободной поверхности нефти к горизонту при торможении железнодорожной цистерны, происходящим с постоянным ускорением м/с².

Решение. Тангенс угла наклона к горизонту поверхности жидкости в цистерне определяется формулой

Отсюда находим:

.

Ответ: .