ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим ЛОСУ п-го порядка с постоянными коэффициентами

(12)

в которой искомыми являются функции действительной переменной х,

коэффициенты Эту систему можно записать в матричной форме (см. раздел 8.3.2):

(13)

где − искомое решение, − числовая матрица.

Система (13) всегда обладает тривиальным решением , в чем легко убедиться непосредственной подстановкой: Запишем решение в виде

(14)

где − числовая матрица-столбец, − неизвестное число. Такое представление решения называют подстановкой Эйлера. При помощи этой подстановки поиск неизвестных функций сводится к алгебраической задаче поиска наборов чисел

Подставим решение (14) в систему (13): . Найдем производную: и исключим ее из матричного уравнения: Соберем все члены уравнения в левой части: Вынесем общие множители, сократим на и получим уравнение:

(15)

Этому матричному уравнению соответствует система линейных однородных алгебраических уравнений, в скалярной форме имеющая вид:

(16)

Нужно найти все значения при которых существуют нетривиальные решения системы (16). Такую задачу называют задачей о собственных числах и векторах матрицы А. Из курса линейной алгебры [4, 6] известно, что необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения однородной системы (16) является равенство определителя системы нулю:

или . (17)

Выражением для определителя (17) является многочлен п-й степени с действительными коэффициентами. Уравнение (17) и многочлен называют характеристическими. Далее нужно решить характеристическое уравнение (найти собственные числа), и изсистемы (16) для каждого собственного числа в зависимости от его кратности найти один или несколько соответствующих собственных векторов матрицы А.

У многочлена п-й степени с действительными коэффициентами корнями могут быть как действительные, так и комплексные числа (см. раздел 1.1.6). Рассмотрим четыре случая.

1. Пусть все корни характеристического уравнения − различные действительные числа кратности 1, которым соответствуют собственные векторы …, . Тогда соответствующие решения имеют вид

(18)

и образуют фундаментальную систему решений. В этом случае общее решение системы где − произвольные постоянные.

2. Пусть − пара комплексно-сопряженных корней уравнения (17) кратности 1. Если собственному числу соответствует собственный вектор , то решение имеет комплексные элементы. Можно доказать, что действительная и мнимая части этого решения

и (19)

также являются решениями системы, линейно независимыми между собой.

Заметим, что из пары комплексно-сопряженных корней достаточно взять только один, так как действительные решения, соответствующие второму корню , совпадают с точностью до знака с полученными выше для корня

3. Пусть − действительный корень уравнения (17) кратности

Если число линейно независимых собственных векторов равно кратности то набор из соответствующих частных решений ЛОСУ, линейно независимых между собой, записывается так:

(20)

Если число соответствующих линейно независимых собственных векторов меньше кратности то частное решение системы представимо в виде:

(21)

где − неизвестные векторы. Чтобы найти компоненты векторов , нужно подставить (21) в систему (13) и найти их из условия тождественного равенства левой части ЛОСУ нулю. В результате подстановки получим систему линейных однородных алгебраических уравнений, содержащей ровно свободных переменных, которые следует обозначить буквами Тогда формула (21) описывает компоненту общего решения однородной системы. Здесь было приведено краткое описание метода неопределенных коэффициентов.