Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ρ(x)y=f(x), где ρ(x) и f(x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+3y=e2x и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х=0, у=1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f(x)=e2x.
Решение ищем в виде y=U∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U'υ+ Uυ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U'υ+Uυ'+3Uυ=e2 x или U'υ+U'+3υ)= e2x.
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ'+3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3x,υ=e–3x.
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:
.
Найдем частное решение. Для этого подставим начальные условия в выражение для общего решения и найдем С.
.
Частное решение имеет вид: .

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ρy'+qy=f(x), где ρ и q – вещественные числа, f(x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ρy'+qy=0, (1)
у которого правая часть f(x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K2+ρK+q=0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К1 и К2.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D2–4q уравнения (2) следующим образом:
1. При D>0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К1К2), и общее решение имеет вид .
2. При D=0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К1=К2=К), и общее решение имеет вид:
3. Если D<0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К1=α+βi, К2=α–βi, β≠0), имеет вид y=eαx(C1 cosβx+C2 sinβx).
Пример 1. Найти общее уравнение y''–y'–2y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид K2–K–2=0, его корни К1=1, К2=–2 вещественные и различные. Общее решение уравнения имеет вид y=C1ex+C2e–2x.
Пример 2. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К2–2К+1=0, его корни К1 = К2=1 – вещественные и равные. Общее решение уравнения имеет вид y=ex(C1+C2x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения y''–4y'+13y=0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид К2–4К+13=0, его корни К1=2+3i, К2=2–3i комплексные. Общее решение уравнения имеет вид y=e2x(C1 cos3x+C2sin3x).
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
y''+ρx+qy=f(x), (3)
где f(x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения (3) и общего решения yосоответствующего однородного уравнения (1):
.
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).
1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=eαxPn(x), где Pn(x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде , где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.
Пример 4. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=x2+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo=ex(C1+C2x )(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения не равен нулю (К1=К2=1), то частное решение ищем в виде , где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax2+Bx+C и подставляя =Ax2+Bx+C, , в данное уравнение находим 2A–4Ax–2B+Ax2+Bx+C=x2+1, или Ax2+(B–4A)x+2A–2B+C=x2+1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4, С=7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение - .
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y o=C1ex+C2e–2x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию eαx при α=2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде =Ae2x.
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем:
и , откуда , .
Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения и общее решение запишется в виде . Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. .
Подставляем начальные условия в у и у', находим С1 и С2:

.
Подставляя найденное значение С1 и С2 в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
.
2) Пусть правая часть имеет вид и α+βi, (α–βi) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде .
Если же α+βi, (α–βi) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде .
Пример 6. Найти общее решение уравнения .
Решение. Здесь характеристическое уравнение К2+1=0 имеет корни К1= i, К2=-i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y=C1cosx+C2sinx. В правой части стоит тригонометрическое функция то есть a=0, b=1, β=2. Так как β=2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: .
Дифференцируя и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим , откуда , т.е. частное решение , а общее решение уравнения: .

Интегральное исчисление

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если производная ее F'(x)=f(x).
Определение. Совокупность всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается .

Таблица основных интегралов:
1. .
2. .
3. .
4. .
Следствие: .
5. .
6. .
7. .
8. .
9.
10.
Основные свойства интегралов
1.
2.
Пример. Вычислить интегралы:
1. .
Проверка. .








Дата добавления: 2016-05-11; просмотров: 3150;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.