Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.
Пусть необходимо найти интеграл от неправильной рациональной дроби. При помощи деления (по правилу деления многочленов) неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби. Например, .
Затем знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

Пример. Найти интеграл .
Решение. Выделим целую часть данной неправильной дроби:
.
Разложим знаменатель на линейные множители по формуле: , где х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения то есть .

откуда получаем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа
Решая ее, имеем: значит: ,

5. Формула Ньютона – Лейбница

,
где F(x) – первообразная для f(x), т.е. F'(x)=f(x).
Пример.
1. Вычислить по формуле Ньютона – Лейбница.
Решение. Имеем .
2. Вычислить .
Решение. Положим , тогда . Если х=1, то t= 0, если х=е, то t= 1. Следовательно, .