Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

В практической деятельности широко используются дроби, знаме­натели которых являются степенями 10. Их называют десятичными.

Определение. Десятичной называется дробь вида , где m и n - натуральные числа.

Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь - записывают в виде 3,67, а дробь в виде 0,007.

Выясним, как образуется такая запись. 10

Пусть дана дробь , где m и n - натуральные числа. Представим ее числитель в

следующем виде:

m = a ∙ 10 + a ∙10 + …+ a ∙10 + a₀.

Тогда, по правилам действий над степенями при n < k, получим:

= a ∙ 10 + a ∙10 + …+ a + + … + .

Сумма a ∙ 10 + a ∙10 + …+ a является записью целого неотрицательного числа (обозначим его буквой А), а сумма + … +

представляет дробную часть числа, ее принято записывать без знаменателя в виде а … a₀. Таким образом, дробь —- можно представить в следующем виде: А, а … a₀, т.е. при записи дроби последние n цифр десятичной записи числа m отделяют запятой. Если числитель содержит менее чем n десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилась n + 1 цифра, после чего отделяют запятой n знаков, начиная с конца. Например,

= = 0,0047.

Как известно, сравнение десятичных дробей и арифметические дей­ствия над ними легко выполнять, если дроби имеют один и тот же знаменатель.

В основе приведения десятичных дробей к общему знаменателю лежит следующее утверждение: если к десятичной дроби А, а … a₀, приписать справа любое число нулей, то получится десятичная дробь, равная данной.

Это свойство позволяет приводить десятичные дроби к общему знаменателю следующим образом: если у одной дроби после запятой стоит n цифр, а у другой р цифр, причем n < р, то для приведения их к общему знаменателю достаточно к первой дроби приписать справа р- n нулей. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять по­ровну цифр, а это значит, что они имеют один и тот же знаменатель.

Пользуясь этим правилом, легко выполнять сравнение десятичных дробей, так как оно сводится к сравнению натуральных чисел: чтобы сравнить две десятичные дроби, надо уравнять в них число десятичных знаков после запятой, отбросить запятые и сравнить получившие­ся натуральные числа.

Например, 4,62517 > 4,623, так как 4,623 = 4,62300, а 4,62517 > 4,62300, так как 462517 > 462300.

Как известно, для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводится к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к действиям над натуральными числами.

Например,

2,54 + 3,7126 = 2,5400 + 3,7126 = 6,2526.

Умножение и деление десятичных дробей не требует приведения их к общему знаменателю, но они также сводятся к соответствую­щим действиям над натуральными числами.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. Запись р% обозначает .

Например, 25% - это дробь , или 0,25.

Проценты были введены, когда не существовало десятичных дробей. Чтобы производить расчеты по займам, определяли при­рост капитала из расчета 100 денежных единиц. Этот прирост и называли числом процентов (рго сеntum - на сто).

Простота сравнения и выполнения действий над десятичными дробями приводит к следующему вопросу: любую ли дробь вида

(m, nÎN) можно записать в виде конечной десятичной дроби, т.е. дроби, у которой после запятой стоит конечное число цифр? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь была равна десятичной, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаме­нателя и на простые множители входили лишь простые числа 2 и 5.

Так, например, дробь можно записать в виде десятичной: она 80

несократима и 80 = 2⁴∙5. Дробь несократима, но 15 = 3∙5. По­скольку в разложение знаменателя этой дроби входит множитель, отличный от 2 и 5, то дробь — нельзя записать в виде десятичной.

Дробь - нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Но, деля 1 на 3, получаем, что 0,3 < < 0,4. Далее находим, что 0,33 < < 0,34; 0,333 < < 0,334 и т.д. Вообще для любого n имеем: 0,33...33< < 0.33...34

Вместо того чтобы писать бесконечное множество неравенств, го­ворят, что дроби соответствует бесконечная десятичная дробь 0,33…3… Это означает, что если отбросить в бесконечной дроби все цифры, начиная с некоторой, то будем иметь число, меньшее , а если в полученном числе увеличить последнюю цифру на 1, то будет число, большее .

Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде беско­нечной, приписав к ней справа последовательность нулей. Например, дробь 0,25 можно записать так: 0,25000...0... . Здесь для всех цифр, начи­ная с некоторой, получится число, не превосходящее 0,25 (например, если оставить лишь одну цифру после запятой, то получится 0,2, меньшее 0,25, а если оставить три цифры после запятой, то будет число 0,250, равное 0,25). Если же после отбрасывания увеличить последнюю циф­ру на 1, то имеем число, большее 0,25 (например, 0,3 или 0,251).

Бесконечные десятичные дроби, которые получаются при записи положительного рационального числа, обладают особенностью - они являются периодическими. Это значит, что, начиная с некоторой циф­ры, они образуются бесконечным повторением одной и той же группы цифр. Например, число выражается бесконечной десятичной дробью 0,272727...27..., а число - бесконечной десятичной дробью 0,1454545...45.... Для краткости первую из дробей пишут в виде 0,(27), а вторую - в виде 0,1(45). В скобки заключают повторяющуюся груп­пу цифр, которую называют периодом этой дроби. Отметим, что вме­сто 0,(27) можно было написать и 0,2(72), но эта запись более длинная. Приведенные рассуждения приводят к следующей теореме.

Теорема. Любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Доказательство. Пусть рациональное число представлено не­сократимой дробью —. Чтобы преобразовать ее в десятичную, надо выполнить деление натурального числа m на натуральное число n. При этом будут остатки, меньшие n, т.е. числа вида 0, 1, 2, ... n - 1. Если хотя бы один из остатков окажется равным нулю, то после деле­ния получится конечная десятичная дробь (или, что то же самое, бес­конечная десятичная дробь, заканчивающаяся последовательностью нулей). Если же все остатки отличны от нуля, то деление будет пред­ставлять собой бесконечный процесс, но количество различных ос­татков конечно, и поэтому, начиная с некоторого шага, какой-то ос­таток повторится, что приведет к повторению цифр в частном.

Упражнения

1. Запишите числа 1234 \ 10, 6969 \ 10, 37 \ 10 в виде десятичных.

2. Запишите числа 7,11; 0,45; 13,745 в виде несократимых обыкновенных дробей.

3. Какими будут численные значения следующих величин, если в качестве единицы длины взять 1 м:

а) 23 см 2 мм; в) 90 дм 16 см 8 мм;

б) 5 м 17 дм; г) 1км 120 м?

4. Выразите в килограммах:

а) 1,52 т; б) 0,38 т; в) 13,6 г; г) 426,5г.

5. Выразите в квадратных сантиметрах:

а) 3,548 дм²; б) 3,9 м²; в) 635 мм².

6. Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дробей; выполните действия:

а) 8,23 + 3,568; 6) 7,395-6,27;

в) 12,364+17,729; г) 15,36-9,68.

7. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей и объясните, почему в произведении запятой отделяют столько послед­них цифр, сколько их отделено в первом и втором множителях вместе.

8. Сформулируйте правило деления десятичных дробей; проиллюстрируйте его на примере деления числа 4,62 на 0,2.

9. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. Скорость света 300 тыс. км/с. За сколько минут луч Солнца достигнет Земли?

10. Вычислите наиболее простым способом:

а) 49,5 + 2,738 - 6,856 + (7,956 - 2,638); б) 4,3 - 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6:1,44∙(0,1∙0,02).

11. Не выполняя вычислений, сравните следующие произведения:

а) 19,91∙199,2 и 1,991∙1992:

б) 1,992∙199,3 и 1,992∙1993.

12. Что больше: 35% от 40 или 40% от 35?

13. Увеличьте число:

а) 60 на 10%; б) 80 на 2,5%.

14. Число х увеличили на 45%. Во сколько раз увеличили число?

15. Число х увеличили в 2,4 раза. На сколько процентов увеличили
число?

16. Туристы прошли 75% маршрута и им осталось пройти еще 5,5 км.
Какова длина маршрута?

17. Какие из следующих чисел можно записать в виде конечных десятичных дробей:

а) 7\352; б) 12\56; в) 21\75; г) 12\96.

18. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных:

а) 4\35 б) 7\24 в)123\82 г)48\15.

19. Решите задачи арифметическим методом.

а) Турист прошел в первый день 3\8 всего маршрута, во второй день 40% остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день? Какова длина маршрута?

б) На уборке улицы работают две машины. Первая из них может убрать всю улицу за 40 мин, второй для этого требуется 75% времени первой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной работы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. За сколько времени после этого первая машина закончила уборку улицы?

20.Известно, что любое положительное рациональное число можно изобразить точкой на координатном луче. Исчерпывают ли точки с по­ложительными рациональными координатами весь координатный луч?