Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деле­ние натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, на­пример, как могут получиться десятичные дроби при измерении дли­ны отрезка.

Пусть х - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е - буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных е₁ и отрезка х₁, который короче отрезка е (рис. 130), т.е. n ∙Е < X < (n + 1) ∙Е. Числа n и n + 1 есть приближенные значения длины от­резка х при единице длины Е с недос­татком и с избытком с точностью до 1.

Рис. 130

Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е₁ - деся­тую часть отрезка е и будем уклады­вать его в отрезке х₁. При этом возможны два случая.

1) Отрезок е₁ уложился в отрезке х₁ точно n раз. Тогда длина n от­резка х выражается конечной десятичной дробью: X = (n + n₁\10) ∙Е= n, n₁∙Е. Например, X = 3,4∙Е.

2) Отрезок х₁ оказывается состоящим из n отрезков, равных е₁, и отрезка х₂, который короче отрезка е₁. Тогда n, n₁∙Е < X < n, n₁ n₁′∙Е , где n, n₁ и n, n₁ n₁′ - приближенные значения длины отрезка х с не­достатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезка х можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е₂ - сотую часть отрезка е.

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка бу­дет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1)На k-том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина от­резках выразится конечной десятичной дробью вида n, n₁… n k.

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом n, n₁… n k..., который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого доста­точно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5 . Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дро­би, что невозможно: 5 = 5,666....

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконеч­ные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? От­вет на этот вопрос отрицателен: существуют отрезки, длины кото­рых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. по­ложительным рациональным числом) при выбранной единице дли­ны. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения длин отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадра­та, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена по­ложительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата АВСВ выражается несократимой дро­бью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство

1²+ 1² = . Из него следует, что m² = 2n². Значит, m² - четное число, тогда и число m - четно (квадрат нечетного числа не может быть чет­ным). Итак, m = 2р. Заменив в равенстве m² = 2n² число m на 2р, получаем, что 4р² = 2n², т.е. 2р² = n². Отсюда следует, что n² четно, сле­довательно, n - четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предположению о ее несократимости. Установленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной едини­це длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел - положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби - это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа че­рез процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так √2 , √7, √24 - это иррациональное числа. Иррациональными являются также lg 5, sin 31, числа π =3,14..., е = 2,7828... и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначают символом J+.

Рис. 131

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных и положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R+. Таким обра­зом, Q+ ∪ J + = R+. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 131.

Любое положительное действительное чис­ло может быть представлено бесконечной деся­тичной дробью - периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сво­дятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умно­жения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выра­зить результат измерения любой скалярной величины: длины, пло­щади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно - она может увеличиваться, умень­шаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изме­нение величины, кроме положительных действительных чисел нуж­ны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество R всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняют­ся по правилам, известным нам из школьного курса математики.

Упражнения

1. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:

а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

2. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

3. Дано множество: {7; 8 ; √8; 35,91; -12,5; -√37; 0; 0,123; 4136}.

Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

4. Известно, что любое число можно изобразить точкой на коорди­натной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

99. Основные выводы § 19

При изучении материала данного параграфа мы уточнили многие известные из школьного курса математики понятия, связав их с изме­рением длины отрезка. Это такие понятия, как:

дробь (правильная и неправильная);

равные дроби;

несократимая дробь;

положительное рациональное число;

равенство положительных рациональных чисел;

смешанная дробь;

бесконечная периодическая десятичная дробь;

бесконечная непериодическая десятичная дробь;

иррациональное число;

действительное число.

Мы выяснили, что отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовались этим, определяя понятие положи­тельного рационального числа. Выяснили также, как связано с изме­рением длин отрезков сложение и умножение положительных рацио­нальных чисел и получили формулы для нахождения их суммы и произведения.

Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.

Мы доказали, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

Введя десятичные дроби, мы доказали, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.

Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ ∪ J + = R+.

Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.