Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Основные свойства принадлежности точек и прямых, взаимного расположения точек на плоскости и прямой.

Рассмотрим пять групп аксиом, лежащих в основе евклидовой геометрии.

Первая группа – аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

1. Через две точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Бесконечность прямой надо будет доказывать.

Для построения стереометрии присоединяются еще аксиомы.

4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

5. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.

6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

7. Существует по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа – аксиомы порядка. Они определяют понятие «лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этой прямой такая точка С, что точка В лежит между точками А и С.

3. Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.

4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не проходит ни через одну их этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ (то есть проходит через точку, лежащую между точками А и В), то она пересекает один из отрезков ВС или АС.

Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие отрезка, луча, угла.

Точки, расположенные между А и В, называются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами отрезка АВ,

Луч с началом О – это совокупность всех точек прямой, лежащих с одной стороны от О.

Угол – это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на разных прямых.

Третья группа – аксиомы равенства (конгруэнтности). Они определяют равенство отрезков и углов.

1. На данной прямой по данную сторону от данной на ней точки можно отложить отрезок, равный данному, и притом единственным образом.

2. Два отрезка, порознь равны третьему, равны между собой.

3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка В лежит между двумя точками А и С. Если при этом отрезок АВ равен отрезку А В и отрезок ВС равен В С, то АС = А С.

4. По одну сторону от данного луча можно отложить данный угол и притом единственным образом.

5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

Пусть А, В, с – три точки, не лежащие на одной прямой. А, В, С - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А В, ÐВАС = ÐВ А С, то ÐАВС = <Ð А ВС.

Четвертая группа состоит из аксиомы непрерывности.

1. Если все точки прямой произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (и в первом нет самой правой).

Образно говоря, в этой аксиоме утверждается, что прямая не имеет проколов, то есть она непрерывна.

Пятая группа состоит из единственной аксиомы – аксиомы параллельности.

1. В плоскости через точку вне данной прямой нельзя провести более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Совокупность всех теорем, выводимых из пяти групп аксиом, составляет евклидову геометрию.