Положительные рациональные числа

Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквива­лентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби. Например, множество дробей í , , , , …ý - это один класс, множество дробей í , , , , …ý - это другой класс и т.д.

Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. По­этому считают, что равные дроби - это различные записи одного и того же положительного рационального числа.

Определение. Положительным рациональный числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.

Например, о дроби мы должны говорить, что она является за­писью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: это рациональное число.

Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на этом множестве отношение равенства.

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда

mq = пр.

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого поло­жительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это дока­зательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с по­ложительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у – дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z m + p раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью .

Поэтому полагают, что + = .

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению

+ = .

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то cначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

("а, bÎQ+) а + b = b + а;

("а, b, сÎQ+) (а + b)+ с = а + (b + с).

Коммутативность сложения положительных рациональных чисел вы­текает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положитель­ных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е₁ и выра­жается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е₁?

Так как Х = ∙ Е , то п∙Х = m∙Е , а из того, что Е = ∙Е₁ следует что q∙Е = р∙Е₁. Умножим первое полученное равенство на q, а второе – на m. Тогда (пq)∙Х = (mq) ∙Е и (mq) ∙Е = (mq) ∙ Е₁, откуда (пq)Х= (тр)Е₁ . Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины Е₁

выражается дробью , а значит, • = , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при изме­рении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b - дробью , то их произведением называется число аb, которое представляется дробью .

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соот­ветствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а > b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и , (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда m < р.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и , (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и толь­ко в том случае, когда mq < пр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q +.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удов­летворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.

Разность а - b положительных рациональных чисел существует тог­да и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где m < р:

- = ,

Деление положительных рациональных чисел определяется как опе­рация, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовле­творяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда а = b с.

Из этого определения и правила нахождения произведения положи­тельных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и :

: =

Из этого правила следует, что частное положительных рациональ­ных чисел всегда существует.