Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дро­бей к общему знаменателю.

Сокращение дробей - это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, - несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновре­менно только на единицу, т.е. D(5, 17) = 1.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дро­бей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел п и q, а наименьшим общим знаменателем - их наименьшее кратное К(п, q).

Задача. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби и .

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3∙5, 35 = 5∙7. Тогда К(15, 35) = 3∙5∙7= 105. Поскольку 105= 15∙7 = 35∙3, то = = , = =

Упражнения

1. Известно, что длина отрезка х при единичном отрезке е выражается дробью . Как могла получиться такая дробь при измерении длины отрезка х? Существуют ли другие дроби, выражающие длину отрезка х при том же единичном отрезке е?

2. Выберите единицу длины и постройте отрезок, длина которого выражается дробью: а) 15/4; б) 17/3; в) 4/7 .

3. Как установить, равны ли дроби:

а) и б) и ?

4. На множестве дробей í , , , , , ý задано отношение равенства. Постройте граф этого отношения. Каковы особенности этого графа? С чем они связаны?

5. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю.

а) 1/3 и 1/102, б) 7/16 и 5/844, в) 15/171 и 23/270.

6. Найдите несократимую дробь, равную следующей:

а) 108/144, б) 402/455, в) 780/2730.

3. Арифметические действия над рациональными числами. Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел. Законы сложения и умножения.

4. Свойства отношения «меньше» на множестве рациональных чисел.