ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Определение. Рациональной дробьюназывается отношение двух многочленов:

(4)

где и многочлены от степеней и соответственно.

Рациональная дробь (4) называется правильной, если и неправильной, если .

Определение. Простейшими рациональными дробяминазывают правильные рациональные дроби четырех типов:

где a, p, q, A, M, N — действительные числа,

При этом предполагается, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Простейшей дроби 1-го и 2-го типов интегрируются заменой . a 3-го типа — заменой (2). Интегрирование простейших дробей 4-го типа является громоздкими, и мы его рассматривать не будем.

Теорема(о представлении рациональной дроби в виде суммы простейших дробей). Всякую правильную рациональную дробь можно представить, и потом единственным образом, в виде суммы простейших дробей типов 1) — 4). При этом каждому множителю в знаменателе вида будет соответствовать группа из n слагаемых вида , а каждому множителю в знаменателе вида — слагаемые .

Постоянные , N₁, N₂, … называют неопределенными коэффициентами и находят по следующему алгоритму:

1) Сумму всех простейших дробей привести к общему знаменателю, который равен знаменателю дроби в левой части тождества.

2) Числитель получившейся дроби приравнять к числителю исходной дроби.

3) Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в левой и правой частях полученного тождества.

4) Решить полученную систему уравнений, которая имеет единственное решение.

Теорема(о представлении неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби). Всякую неправильную рациональную дробь можно разложить, и притом единственным образом, на сумму многочлена (целая часть) и правильной рациональной дроби ( «остаток» от деления на ):

Итак, алгоритм интегрирования рациональных дробей:

1) Если подынтегральная дробь неправильная, то из неё выделяют целую часть , которая интегрируется непосредственно, и правильную рациональную дробь .

2) Правильную рациональную дробь раскладывают на сумму простейших дробей 1) — 4).

3) Простейшие дроби интегрируют по отдельности с помощью соответствующих замен переменных.

Пример.Найти интегралы от рациональных дробей.

а)б)

Решение.

а) Подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть путем деления многочлена на многочлен «углом»:

Итак,

Тогда

б) Подынтегральная дробь правильная, знаменатель это дроби разложим на множители, а затем разложим дробь на сумму простейших дробей:

Итак, получим

Поскольку знаменатели исходной и полученной дробей одинаковы, то приравняем их числители и получим тождество

Сгруппируем в правой части слагаемые с одинаковыми степенями, а затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях:

Следовательно, разложение имеет вид:

Вернемся к вычислению интеграла: